Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Цель работы: познакомить студентов с основными численными методами решения систем линейных алгебраических уравнений (точными и приближенными), показать реализацию этих методов в программе MS Excel.
Краткая теоретическая справка
П
усть
дана система из n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными x1,
x2…
xn
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1’ (1)
a21x1+a22x2+…a2nxn=b2’
…………………
an1x1+an2x2+…+annxn=bn.
Систему (1) можно записать в матричной форме Ax = b,
используя следующие обозначения:
,
,
.
Здесь A – матрица системы, x – столбец неизвестных, b – столбец – столбец свободных членов.
В линейной алгебре
доказывается, что если
,
то система (1) имеет
единственное
решение. Если же
,
то система либо не имеет решений, либо
их бесконечное количество.
В настоящей работе будем рассматривать системы линейных алгебраических уравнений (1), для которых , т.е. системы, имеющие единственное решение.
Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разбить на прямые и итерационные. Прямые методы (метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы и др.) позволяют получить значения неизвестных за конечное число арифметических действий.
Итерационные методы путем выполнения единообразных операций (итераций) позволяют получить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению системы (метод итерации, метод Зейделя и др.).
Таблица 1
|
Точные |
Итерационные |
|
|
Метод Гаусса |
Метод итерации |
Метод Зейделя
|
Характеристика метода |
Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводятся к эквивалентной системе уравнений (3) с треугольной матрицей
1 c12 ... c1n 0 1 … c 2n … … … … 0 0 0 1
xn = dn. Этот процесс называется прямым методом Гаусса. Далее из (3) последовательно, начиная с последнего уравнения, двигаясь снизу вверх, находят все неизвестные. Последний процесс называется обратным ходом метода Гаусса. |
Система (1) приводится к такому виду, чтобы в i – ом уравнении системы диагональной коэффициент aii был по модулю большим, чем остальные коэффициенты уравнения, после чего система записывается в матричном виде (4) или в виде (5): x1 = φ1 (x1, …, xn). ………., xn = φn (x1,…, xn). З адавая начальное приближение x0 , из (5) получаем следующее приближение решения. И так действуем до нужной точности: x1, i = φ1(x1, i-1,...,xn,i-1), ……….., xn, i = φn (x1, i – 1, … , xn, i- 1).
|
В отличие от метода итерации при вычислении i – го приближения переменной xk используются уже вычисленные до этого i – ые приближения переменных x1 , x2 , …, xk-1:
x1,i φ1 (x1,i-1, …, xn, i-1), x2,i = φ2 ( x1, i , x2, i-1, … , xn, i-1), ………., xn, i = φn (x1, i , x2, i …, xn-1. i , xn, i-1). |
x1+c12x+…+c1nxn
= d2,
……………..
(3)
x
= d
+ C
∙ x
(4)
Прямые методы, в отличие от итерационных, неудобно применять для решения систем, содержащих большое количество уравнений и неизвестных, в силу накопления погрешностей в ходе решения таких систем.
Характеристика некоторых численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений представлена в таблице 1.
Порядок выполнения работы
В таблице 2 приведены основные этапы работы, необходимые при решении задания методами Гаусса, итерации, Зейделя.
Таблица 2
Метод Гаусса |
Метод итерации |
Метод Зейделя |
||
1. Подготовить компьютер к работе в программе Excel |
||||
2. Задать матрицу левой части исходной системы (1) – матрицу A и столбец свободных членов – b. |
2. Задать матрицу C системы (4) и столбец d. |
|||
3. Выполняя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы, свести ее к виду. |
3. В качестве начального приближения x0 выбирается столбец d. |
|||
4. Сформировать столбец решений системы. |
4. Вычислить следующее приближение: xi = C ∙ xi-1 + d . |
4. Вычислить следующее приближение: xi = C ∙ xi-1 * + d, где для вычисления переменных i – го приближения используют уже вычисленные переменные этого же приближения. |
||
5. Выполнить проверку подстановкой и методом обратной матрицы. |
5. Вычислить точность ε по формуле: ε
=
|
|||
6. Выполнить столько итераций (начиная с п. 4), пока не будет достигнута точность ε = 0, 01. |
||||
(6)