2.4.3. Метод Ньютона

Итерационный метод Ньютона предназначен для решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Он основан на линеаризации уравнений путем их разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми производными.

Любую систему алгебраических или трансцендентных уравнений с неизвестными x₁, x₂, …, x_n можно записать следующим образом:

(2.38)

где W₁, W₂, …, W_n – некоторые функции переменных x₁, x₂, …, x_n, определяющие вид уравнений.

Линеаризуем каждое уравнение системы путем разложения в ряд Тейлора в окрестностях p-го приближения переменных , , …, :

(2.39)

и окончательно в матричной форме

. (2.40)

Здесь W – вектор-столбец значений W_i, вычисленных при p-м приближении переменных; ΔX – вектор-столбец невязок переменных , компоненты которого являются неизвестными в системе (2.40); 0 – вектор-столбец, элементы которого равны нулю; – матрица производных , которая называется матрицей Якоби. Эти производные также вычисляются при p-м приближении переменных.

Матрица Якоби имеет следующую структуру:

.

В результате решения системы (2.40) на каждом шаге итерационного процесса определяются значения невязок переменных. Рекуррентная формула метода Ньютона имеет вид

. (2.41)

При расчете режимов электрических сетей методом Ньютона уравнения записываются в форме баланса мощностей или баланса токов в полярной системе координат.

Алгоритм решения уравнений баланса токов методом Ньютона.

1. Задается начальное приближение модулей и фаз напряжений. Рекомендуется принимать , .

2. Вычисляются значения функций W_i при данном приближении пере-менных:

(2.42)

Здесь нумерация узлов соответствует принятой в п. 2.1; W_а,i, W_р,i – действительная (активная) и мнимая (реактивная) составляющие уравнений баланса токов, вычисляемые при p-м приближении переменных:

, i = 1…n, (2.43)

, i = 1…n, (2.44)

, i = (n + 1)…m. (2.45)

В формулах (2.43) и (2.44) учтено, что активная и реактивная мощности нагрузки могут зависеть от напряжения, и поэтому они также вычисляются заново на каждой итерации. Выражение (2.45) соответствует узлам, балансирующим по реактивной мощности. Значение P_i для этих узлов постоянно (и отрицательно, если мощность генерируется).

3. Проверяются условия

, (2.46)

где  – заданная точность решения.

Если эти условия выполнились для всех узлов, то расчет заканчивается, и решением является последнее приближение переменных. Если условие (2.46) не выполнилось хотя бы для одного узла, то осуществляется переход к пункту 4.

4. Вычисляются компоненты матрицы Якоби a_i,j при данном приближении переменных:

Например, производная функции W_а,i по напряжению U_i равна

, (2.47)

где производная активной мощности вычисляется при .

5. Составляется и решается линейная система (2.40), которая имеет порядок (n + m). Обычно для ее решения используется метод Гаусса.

6. Определяется (p+1)-е приближение переменных:

7. Осуществляется возврат к пункту 2.

Метод Ньютона имеет в среднем лучшую сходимость, чем метод Зейделя. Однако алгоритм расчета по методу Ньютона более сложный, и каждая итерация включает в себя большее количество вычислений.

В целом метод Ньютона и метод Зейделя конкурентоспособны. Но возможности расчета режимов электрических сетей методом Ньютона шире, чем методом Зейделя. Поэтому метод Ньютона является более распространенным.