2. Дифференциал: определение, геометрическая интерпретация, применение к приближенным вычислениям.

   Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента Δ f = A·Δx + o(Δx), то есть df = A·Δx.

Геометрический смысл дифференциала

  

Возьмем на графике некоторую точку и другую точку , абсцисса которой . Проведем касательную к графику функции в точке . По определению известно, что . А из треугольника KMN известно, что . Итак

Геометрический смысл: значение дифференциала функции при данном значении аргумента и данном приращении равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой ) к точке касательной (с абсциссой )

Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Абсолютной погрешностью приближенной величины называется абсолютная величина разности между точным значением этой величины и её приближенным значением : . Границей абсолютной погрешности приближенной величины называется любое положительное число , не меньше : .

Отсюда . Чем меньше , тем точнее найдена величина.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины: .

Границей относительной погрешности называется отношение . При этом и - часто выражают в процентах. Пусть нам известно значение функции и её производной в точке . Найдем значение функции .

Для этого воспользуемся приближенным равенством или .

Но , поэтому , откуда .

Показано, что абсолютная погрешность не превышает , где - наибольшее значение на сегменте .

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Билет 7

1. Векторное произведение двух векторов и его физический смысл.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

• он является нулевым, если векторы и коллинеарны;

• он перпендикулярен и вектору и вектору ( ) ;

• его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними ( );

• тройка векторов , , ориентирована так же, как и заданная система координат.

Физический смысл векторного произведения

-момент силы относительно тоски О; -радиус-вектор точки приложения силы , тогда причем если перенести в точку О, то тройка , , должна быть ориентирована как вектор базиса.

Свойства векторного произведения.

1. антикоммутативность ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

Вычисление векторного произведения «в координатах» (с выводом).

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , , , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах: