2. Формула Лангража конечных приращений.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что .

Правило Лопиталя (вывод).

Теорема Лопиталя:

Если:

1. ;

2. и дифференцируемы в окрестности ;

3. в окрестности ;

4. существует ,

то существует .

Пределы также могут быть односторонними.

или

Теорема 5.5 (Правило Лопиталя)   Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных: . Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу L:

        Доказательство.     Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L: и

Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что , , , где .

Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при : ,

так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим : , где .

Переходя к пределу при , получаем ,

так как при имеем .

Итак, оба односторонних предела отношения равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

Примеры его применения.

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Билет 6

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов  и  называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Его физический смысл.

Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы  вдоль вектора перемещения .

                    

    На рисунке 1 сила  разложена на две ортогональные составляющие  и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора  создается составляющей  и равна .

   С другой стороны, , откуда получаем:

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

1) a · b = b · a -свойство перестановки (коммутативности): (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

2) a · (b · c) = (a · b) · c -свойство распределения: (результат не зависит от порядка умножения);

3) a(b+c)=ab+ac - свойство дистрибутивности

4) (λ a) · b = λ (a · b) - свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю):

5) Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу)

6) a · a = a2 = |a|2 - свойство квадрата (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

7) ; Доказать равенство a(b+c)=ab+ac.

Для доказательства координаты векторов: , , подставляются в формулу произведения . После подстановки координат получается выражение , которое и соответствует сумме скалярных произведений .

Вычисление скалярного произведения через координаты (вывод).

Пусть заданы два вектора и

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов , , :

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат

Условие перпендикулярности двух векторов в векторной и координатной формах.

- Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

- Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение на плоскости, а в трехмерном пространстве .