2. Асимптоты: вертикальные и наклонные.

Прямая называется асимптотой кривой, если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты.

Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.

вертикальные асимптоты

График функции  при аргументе,  который стремится к точке   имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен

Кроме этого точка  является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . В частности:

если , то x = a - вертикальная правосторонняя асимптота;

если , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где  - пределы, которые  вычисляются по правилу :

Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе - нет.

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота вправо,

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота влево,

Билет 2

1. Минор, дополнительный к выделенному элементу матрицы.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij

ПРИМЕР: Задание. Найти минор к элементу определителя .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

, тогда Ответ.

Алгебраическое дополнение к выделенному элементу матрицы.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

ПРИМЕР

Задание. Найти алгебраическое дополнение к элементу определителя .

Решение. Ответ.

Вычисление определителя 3-го порядка разложением по элементам строки или столбца.

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Вычислить определитель 3-го порядка можно разложением

по элементам строки: ;

и по элементам столбца: .

В этих формулах - алгебраические дополнения элементов матрицы , где — миноры элементов матрицы .

Правило Саррюса

Д описывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так:

Пример:

Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника:

Решение:

1) с помощью разложения по первой строке:

2) по правилу треугольника:

Ответ: -21

Решение системы линейных уравнений 3-го порядка по правилу Крамера.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать по правилу Крамера в следующем виде: если D¹0. Здесь

вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида где x₁, x₂ – неизвестные переменные, a_{i j}, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 – числовые коэффициенты, b₁, b₂ b₃- свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, x₃ при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, x₃ матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

2. Определитель квадратной матрицы , равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А₁₁, обе части второго уравнения – на А_{2 1,} обе части третьего уравнения – на А ₃₁ (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, x₃ и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид , откуда

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂ и применяем свойства определителя:

Откуда .

Аналогично находим x₃.

Если обозначить , то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера. , , .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку D¹0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.