2. Последовательности: определение, предел, свойства сходящихся последовательностей.

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

, предел

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

свойства сходящихся последовательностей

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

3. Сходящаяся последовательность ограничена

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей: и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей и .

5. Произведение сходящихся последовательностей: и есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей и .

6. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей и .

7. Если элементы сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству .

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Билет 15

1. Как определяется угол между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид

.

Записать условия перпендикулярности, параллельности прямой и плоскости.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор плоскости  перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю  – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке .

Найдем координаты точки для случая, когда плоскость задана общим уравнением плоскости вида , а прямая а является линией пересечения двух плоскостей и .

Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a, и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .

Если прямая а определена параметрическими уравнениями вида . ,

То если в уравнение подставить выражения , мы придем к уравнению с неизвестной . Разрешив это уравнение относительно , мы получим значение , соответствующее координатам точки пересечения прямой a и плоскости . Координаты точки пересечения прямой и плоскости вычисляются как .

Обратите внимание: если прямая , лежит в плоскости , то, подставив в уравнение выражения , , , мы получим тождество , а если указанная прямая параллельна плоскости - то мы получим неверное равенство.

Когда прямая a задана каноническими уравнениями вида . В этом случае для нахождения координат точки пересечения прямой a с плоскостью , от канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим уравнениям этой прямой ( ) и далее решать по аналогии.

2. Функция: определение, способы задания, четность, периодичность, обратная функция. Графики функций: , , , . (2-ой вопрос как 2- ой вопрос билета 13 )

Билет 16 (полностью как билет 1)

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Совместные и несовместные системы. Матрицы коэффициентов системы. Определители 2-го порядка. Вывод формулы Крамера решения системы второго порядка. Геометрическая интерпритация системы и её решения.

2. Асимптоты: вертикальные и наклонные.

Билет 17 (полностью как билет 2)

1. Минор, дополнительный к выделенному элементу матрицы. Алгебраическое дополнение к выделенному элементу матрицы. Вычисление определителя 3-го порядка разложением по элементам строки и столбца. Решение системы линейных уравнений 3-го порядка по правилу Крамера.

2. Выпуклость: определение, признак выпуклости, точки перегиба.

Билет 18 (полностью как билет 3)

1. Скаляры и векторы. Вектор как направленный отрезок. Равенство векторов. Операция умножения вектора на число и её свойства. Коллинеарные векторы. Выражение коллинеарных векторов друг через друга. Сумма векторов и её свойства. Противоположный вектор. Разность векторов.

2. Экстремумы: определение, необходимое условие, достаточные условия.

Билет 19 (полностью как билет 4)

10. Линейная комбинация векторов. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

2. Формула Лангража. (формула конечных приращений) и её геометрическая интерпретация. Признаки монотонности функций.

Билет 20 (полностью как билет 5)

1. Базис. Ортогональный базис. Ортонормированный базис. Декартовая прямоугольная система координат. Левая и правая система координат. Координаты вектора – коэффициенты его разложения в ортогональном базисе. Коэффициенты разложения – проекции на оси координат. Радиус – вектор точки. Длина вектора «в координатах». Направление вектора. «Направляющие» косинусы и зависимость между ними.

2. Формула Лангража конечных приращений. Правило Лопиталя (вывод). Примеры его применения.

Билет 21 (полностью как билет 6)

1. Скалярное произведение векторов. Его физический смысл. Свойства скалярного произведения. Доказать равенство a(b+c)=ab+ac. Вычисление скалярного произведения через координаты (вывод). Условие перпендикулярности двух векторов в векторной и координатной формах.

2. Дифференциал: определение, геометрическая интерпретация, применение к приближенным вычислениям. Инвариантность формы дифференциала.

Билет 22 (полностью как билет 7)

1. Векторное произведение двух векторов и его физический смысл. Свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения «в координатах» (вывод).

2. Нахождение производной функции, заданной параметрически (с обоснованием). Нахождение производной функции, заданной неявно (на примере).

Билет 23 (полностью как билет 8)

1. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения через координаты векторов (вывод).

2. Производная сложной функции (с доказательством). Производная обратной функции (вывод).

Билет 24 (полностью как билет 9)

1. Вывод общего уравнения прямой на плоскости. Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях. Вывести канонические уравнения прямой на плоскости, записать параметрические уравнения, вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

2. Правила дифференцирования: доказать формулу . Перечислить остальные.

Билет 25 (полностью как билет 10)

1. Угол между прямыми на плоскости, если они заданы каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом (вывод). Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости.

2. Производная: физические задачи, приводящие к понятию производной, определение, геометрическая интерпретация (уравнение касательной и нормали).

Билет 26 (полностью как билет 11)

1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

2. Доказательство первого замечательного предела .

Билет 27 (полностью как билет 12)

1. Вывести общее уравнение плоскости. Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (с выводом).

2. Непрерывность: определение, односторонние пределы и виды разрывов (с примерами).

Билет 28

1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Как вычисляется угол между плоскостями? Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

2. Предел функции: определение, свойства. Непрерывность: определение, односторонние пределы и виды разрывов (с примерами).

Билет 29

1. Записать векторное уравнение прямой в пространстве, получить канонический вид уравнений прямой в пространстве. Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве, а также прямой, проходящей через две точки пространства. Угол между двумя прямыми в пространстве (вывод). Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

2. Последовательности: определение, предел, свойства сходящихся последовательностей.

Билет 30

1. Как определяется угол между прямой и плоскостью? Записать условия перпендикулярности, параллельности прямой и плоскости. Вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

2. Функция: определение, способы задания, четность, периодичность, обратная функция. Графики функции: sin x, arcsin x, e в степени x, ln x.