1. Записать векторное уравнение прямой в пространстве,

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки  и направляющего вектора , параллельного этой прямой.

П усть прямая проходит через точку , лежащую на прямой параллельно вектору . Рассмотрим произвольную точку  на прямой. Очевидно, что .

Так как векторы  и  коллинеарны, то найдется такое число , что , причем число  может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки  на прямой. Множитель  называется параметром.

Обозначив радиус-векторы точек  и  соответственно через  и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра  соответствует радиус-вектор некоторой точки , лежащей на прямой

получить канонический вид уравнений прямой в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка лежит на прямой а и - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора - они равны разности соответствующих координат точек и , то есть, . Теперь записываем условие коллинеарности векторов и : , где - произвольное действительное число (при точки и совпадают, что нас тоже устраивает). Если , , , то каждое уравнение системы можно

разрешить относительно параметра и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве,

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a, указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора , то есть, .

Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид

и представляет собой параметрические уравнения прямой a.

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки и .

В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор (если больше нравиться вектор , то можно взять его). По известным координатам точек М₁ и М₂ можно вычислить координаты вектора : . Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М₁ и М₂), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида или. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.

Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве?

Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые l₁ и l₂ относительно прямоугольной декартовой системы координат заданы своими каноническими уравнениями:

;

;

, , ,

Записать условия параллельности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т. е. их соответствующие координаты были пропорциональны.