1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость и точка . Так как точка не лежит на плоскости, то .

Выберем произвольную точку на плоскости. В этом случае имеем .

Вычитаем из первого соотношения второе получим

Последнее соотношение представляет собой скалярное произведение нормального вектора плоскости и вектора в координатной форме. По определению скалярного произведения имеем

или . Или окончательно

Как вычисляется угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости и . Если они пересекаются, то угол между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. Угол между двумя нормальными векторами определяется через скалярное произведение в координатной форме. , где и -нормальные векторы плоскостей.

Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.??????

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или , , .

????? это ли Теорема.

-----------------------------------------------------------------------------

Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений (была несовместна).

Доказательство.

Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.

Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Условие перпендикулярности плоскостей. (вывод ????)

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно,

чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется , тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или . Используя условие перпендикулярности векторов в координатной форме получим условие перпендикулярности плоскостей. Таким образом, .

2. Функция: определение, способы задания, четность, периодичность, обратная функция.

Функция: определение

Функция - зависимость переменной y от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

способы задания функций.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Существуют следующие способы задания функций.

Табличный способ: Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Аналитический способ. Задается посредством формул, устанавливающий связь между аргументом и функцией. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

алитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Четность (нечетность функций),

  Функция у = f (х) называется четной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции совпадают

f (− х) = f (х), где .

  График четной функции симметричен относительно оси Oy так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (- x, y).   Функция у = f (х) называется нечетной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции противоположны.

f (− х) = − f (х), где .

  График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).   Говорить о четности либо нечетности можно говорить лишь для тех функций, области определения которых симметричны относительно начала координат.

Периодичность (функций),

·        Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т, если для каждого х из D(f) числа х+Т, x-T также принадлежат D(f) и при этом справедливо f(x+Т)=f(x)=f(x-T).

·        Наименьшее из положительных чисел Т называется основным периодом функции. Часто основной период функции называют просто ее периодом.

Обратная функция.

 Если поменять ролями аргумент и функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение y, что f(y)=x, то говорят, что функция g — обратная функция к f.

Или

Определение: Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений R(f). Обратная к f — функция f−1 определяется как функция с областью определения D(f−1)=R(f)  и множеством значений R(f−1)=D(f) , такая что f−1(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y. Таким образом,  f−1 возвращает y обратно в x.

Предположим, мы имеем функцию: v = u ² ,

 где  - аргумент, a  v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим  u  как функцию  v : .

Если обозначить аргумент в обеих функциях через  x , а функцию – через   y,  то мы имеем две функции: и , каждая из которых является обратной по отношению к другой.

Графики функций: , , , .

синус

Билет 14