2. Предел функции: определение свойства.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

Свойства пределов функции

1. Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3. Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю: ,

4. Константу можно выносить за знак предела:

5.   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

,

Непрерывность: определение, односторонние пределы и виды разрывов (с примерами).

Непрерывность: определение

Говорят, что функция действительного переменного является непрерывной в точке ( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что

, выполняется соотношение .

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для найдется такое, что для любого и < < , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для найдется такое, что для любого и < < , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

виды разрывов

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

.

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Пример. Рассмотрим функцию Разрыв функции возможен только в точке x=2 (в остальных точках она непрерывна как всякий м ногочлен). Найдем , . Так как односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x=2 функция имеет разрыв первого рода. Заметим, что , следовательно функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример. Функция y=2^1/x непрерывна для всех значений x, кроме x=0. Найдем односторонние п ределы: , , следовательно x=0 – точка разрыва второго рода (рис. 3).

Билет 13 ????????????