2. Доказательство первого замечательного предела .

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности .

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где  — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

< <

Так как при >0, x>0, >0:

< <

Умножаем на :

< < 1

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Билет 12

1. Вывести общее уравнение плоскости.

Д ля получения общего уравнения плоскости мы воспользуемся теоремой, согласно которой, плоскость можно определить, задавая произвольную точку , принадлежащую этой плоскости, и направление перпендикуляра, нормали, к этой плоскости – вектор : Пусть точка принадлежит плоскости . Тогда вектор также принадлежит плоскости (в рассматриваемом случае вектор приложен к точке ). Так как вектор , то векторы и взаимно перпендикулярны. Используя свойство скалярного произведения для векторов и , можем записать: × = × =

, (1)

уравнение (1) приводится к виду: , сохраняя свойство принадлежности: .

Имея выражение (1), можем предположить, что выражение, содержащее переменные в первой степени (то есть линейное выражение): , (2)

является уравнением некоторой плоскости пространства. Действительно, пусть некоторая точка принадлежит геометрической фигуре, определяемой выражением (2). Это значит, что имеем тождество: . (3)

Вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем выражение (1), которое определяет плоскость, определяемую точкой и вектором нормали . Уравнение (2) за его свойство представлять любую плоскость пространства называют общим уравнением плоскости.

Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (с выводом).

 Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: , где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Р исунок, поясняющий этот момент.

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (с выводом).

Пусть даны три точки , , , которые лежат в одной плоскости. Пусть произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы , , лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно нулю:

Расписывая смешанные произведения в координатной форме, получим:

Раскроем определитель по первой строке:

Если ввести обозначения:

,

то получим , уравнение плоскости