2. Производная: физические задачи, приводящие к понятию производной, определение.

физические задачи, приводящие к понятию производной

Задача о скорости движущейся точки.  

Пусть s = s (t) представляет закон  прямолинейного движения материальной точки.  

Это уравнение выражает путь s, пройденный  точкой, как функцию времени t.  

Обозначим через Δs путь, пройденный за промежуток времени Δt от момента t до t + Δt , т. е. Δs  = s(t + Δt ) - s (t). Отношение  называется средней скоростью точки за время от t до t + Δt.  

Чем меньше Δt, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δt, тем лучше средняя скорость характеризует  движение точки в момент времени t. Поэтому  естественно ввести понятие скорости v в данный  момент t, определив ее как предел средней  скорости за промежуток от t до t + Δt, когда :

Величина v называется мгновенной  скоростью точки в данный момент t.  

Задача о касательной к данной кривой.  

Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести  касательную к данной кривой в данной точке . 

Так как точка касания д ана, то для решения задачи потребуется найти только угловой коэффициент искомой касательной, т. е. — тангенс угла наклона касательной к  положительному направлению оси Ох (рис.). Ч ерез точки и проведем секущую 

Из рис. видно, что угловой коэффициент секущей равен отношению , где .

Угловой коэффициент касательной к  данной кривой в точке можно найти на  основании следующего определения: касательной к кривой в точке называется прямая ,  угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей , когда .  Отсюда следует, что   Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

_при

Геометрическая интерпретация (уравнения касательной и нормали).

Рассмотрим график функции .

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

1. Касательной к графику функции в точке (х_0; f(х₀)) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной:

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х_0; f(х₀), называется нормалью к графику функции.

Уравнение нормали:

Билет 11

1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

Если задана точка , то расстояние до прямой определяется как .

  Доказательство. Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками и :   (1)

Координаты и могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.  Если преобразовать первое уравнение системы к виду: , то, решая, получим:

_,

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

. Теорема доказана.