Физическая геодезия.

Глава 1

§1.Понятие об уклонениях отвесных линий.

Изучение фигуры Земли тесно связано с уклонениями отвесных линий. Это явление вызвано отличием действительного гравитационного поля земли от нормального. Под нормальным полем Земли понимается гравитационное поле, создаваемое эллипсоидом вращения с равномерной плотностью масс. Существует два метода вывода уклонений отвесных линий: астрономо-геодезический и гравиметрический. Возможно сочетание этих методов. Рассмотрим первый из них.

Пусть в точке М местности (рис. 1) направление нормали к эллипсоиду обозначено через , а направление отвесной линии через g.

Угол U между этими направлениями называется полным уклонением отвесной линии. Это уклонение разлагается на две составляющие - по меридиану и по первому вертикалу. Для их вывода очертим вокруг точки М сферу и обозначим на ней точки: полюса Р, пересечения с ней отвесной линии Z_А и пересечения нормали Z_г. Точки Z_А и Z_г являются точками астрономического и геодезического зенитов.

РИС. 1

Опустим перпендикуляр с точки Z_А на дугу PZ_Г и получим точку N. Угол в точке Р будет L - , где

L - долгота меридиана дуги PZ_Г, а

 - долгота меридиана дуги РZ_А.

Дуга РZ_А равна 90, а PZ_Г. Из прямоугольного сферического треугольника РZ_АN можно записать:

Р*cos(L - ) (1)

Поскольку  лежит на меридиане, то составляющая уклонения на меридиане будет

NZ_Г=PZ_Г - PN

NZ_A=(90-B)-(90-)*cos(L-) (2)

Угол L мал, поэтому с достаточной для практических целей точностью можно записать:

NZ_A=(90-B)-(90-)=-B (3)

Обычно NZ_А обозначают через , и тогда:

 (4)

Найдем теперь проекцию уклонения на первый вертикал, то есть дугу NZ_А.

Из теоремы синусов следует, что:

(5)

Обозначая NZ_А через  запишем:

(6)

Тогда:

sin= cos*sin(L-) (7)

§2.Суть гравиметрического метода заключается в следующем:

В ведем в точке М систему координат, в которой ось  направлена в зенит и совпадает с направлением нормали к эллипсоиду. Ось x направлена вдоль меридиана на север, а ось y вдоль первого вертикала.

РИС. 2

Направление вектора силы тяжести g разложим на три составляющие: g_x, g_y и g_z. Тогда составляющие уклонения отвесных линий можно найти из следующих выражений:

(8)

(9)

Выразим составляющие :gx, gy и gz через потенциал силы тяжести. Известно, что сила, действующая вдоль определенного направления равна производной потенциала по этому направлению, то есть:

(10)