Глава 5. Решение геодезических задач в пространстве.

Связь геодезических и декартовых геоцентрических координат.

В формуле (9) выражаем приведенную широту через геодезическую на основе формул (19). Тогда будем иметь

(143)

Поскольку

(144)

то

(145)

Если кроме этого известна еще и геодезическая высота точки H над эллипсоидом, то формулы (145) примут вид

(146)

Исходя из (146) можно по декартовым геоцентрическим найти геодезические координаты.

Тогда

(147)

где

(148)

Связь декартовых геоцентрических координат

и топоцентрических.

Исходя из рис. 3 будем полагать, что ось z топоцентрической системы находится на нормали к эллипсоиду, а ось х - в $ $ $ $ , принятой за начало координат.

Для определения декартовых геоцентрических координат точки М запишем

(149)

где - декартовы геоцентрические координаты точки О, начала координат топоцентрической системы.

- топоцентрические координаты точки М. - матрица преобразование топоцентрических координат в приращения геоцентрических относительно точки О.

Углами Эйлера в матрице являются L и B. Ее вид следующий

(150)

(151)

(152)

С учетом (146),(151) и (152) перепишем (149) в виде.

(153)

Для получения обратных зависимостей (149) запишем так

(154)

Тогда

(155)

Глава 6. Плоские конформные координаты.

Вычисление плоских конформных координат по геодезическим

координатам.

Под отображением одной поверхности над другой, понимается взаимнооднозначное точечное соответствие между поверхностями, по которому каждой точке одной поверхности приведется в соответствие некоторая точка другой поверхности. Положение точки на эллипсоиде определяется геодезическими координатами В и L. Ее положение на плоскости определяется декартовыми прямоугольными координатами Х и Y. То есть существует следующее однозначное соответствие

А также и наоборот

В геодезии принята проекция Гаусса - Крюгера эллипсоида на плоскость. В этой проекции осевой меридиан зоны (рис. ) изображается на плоскости в виде прямой линии, без искажений, т.е. в масштабе, равном единице (рис. ).

В качестве начала плоских координат принимается точка пересечения осевого меридиана с экватором. Экватор изображается в виде прямой линии, которая служит осью ординат Y , а осью абсцисс является осевой меридиан (рис. ).

Настоящая проекция является симметричной относительно осевого меридиана. Для симметричных проекций справедливо следующие ряды

Характерным признаком симметричных трапеций является то, что по оси абсцисс степени долгот четные, а по оси ординат - нечетные.

Теперь нашей задачей является установление явных значений коэффициентов приведенных выражений на основе условия конформного отображения эллипсоида на шаре:

а) углы между линиями на поверхности при изображении этих линий на плоскости не изменяются.

б) масштаб в каждой точке изображения не зависит от направления.

Сформулируем эти условия математически.

Пусть имеются изображения пересечения меридиана и параллели на плоскости (рис. )

Если по свойству ‘а ’ углы в точке А не искажаются, то можно записать, что

Рассмотрим теперь второе свойство.

В соответствии с ним масштаб изображения в точке А постоянный для любого направления. Это значит, что можно записать

Введем теперь следующие отношения

Это есть дифференциалы дуг меридиана и параллели.

Исходя из общего выражения проекции запишем.

Тогда для меридиана будет

а для параллели

Подставляя эти выражения в первое уравнение конформности получим.

Очевидно, что из этих равенств следуют выражения

которые назвали условиями конформности изображения эллипсоида на шаре.

Применяя эти выражения к приведенным ранее рядам запишем.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях запишем.

или

Далее

Полученные коэффициенты а и b подставляются в исходные ряды и так решается задача вычисления плоских конформных координат по геодезическим координатам.

Вычисление геодезических координат по плоским координатам.

При выводе формул будем исходить из следующих предположений. Пусть известны прямоугольные координаты точки Q x и y (рис ).

Пусть параллель соответствующая этой точке имеет широту В. Перенесем точку Q по ординате у на ось х и получим точку - это осевой меридиан, его длина от начала координат до точки будет

х = х.

Если теперь по х вычислить широту, то мы будем иметь широту точки , лежащей на осевом меридиане с широтой . Широта точки Q меньше широты , на величину В. Тогда, очевидно, можно записать

,

где В будет иметь отрицательный знак. Поскольку проекция симметрична , то можно записать, что

Долгота точки Q зависит также от ее положения у относительно осевого меридиана. С учетом симметричности проекции для нее и широты окончательно запишем

Значения коэффициентов А и В будем находить исходя из условий конформности.

Согласно этим условиям

Тогда подставляя ряды ( ) в эти уравнения получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях найдем коэффициенты А и В.

отсюда находим

и так далее.

Редукции геодезической линии на плоскость в проекции

Гаусса - Крюгера.

Поправка в направление геодезической линии за кривизну ее изображения на плоскости.

В этом случае необходимо ввести поправку в азимут к касательной в точке с тем, чтобы определить азимут хорды ,по которой по формулам плоской геометрии вычисляются координаты. Эти поправки существенны лишь для триангуляции 1-4 классов. Например, для триангуляции 3 и 4 классов настоящая поправка вычисляется по формуле

где

Поправка в длину геодезической линии за масштаб ее изображения на плоскости.

Известно, что масштаб выражается формулой

где dd - бесконечно малый отрезок на плоскости

dS - бесконечно малая длина геодезической линии на эллипсоиде.

Исходя из ( ) можно записать

Значение масштаба m находится из условий конформности

Вычисление поправки в площадь при переходе с эллипсоида на плоскость.

Полагая площадь в виде квадрата, исходя из ( ) запишем

Ограничиваясь лишь первыми двумя членами будем иметь

Пренебрегая членом четвертой степени окончательно получим

При обратном переходе

то есть поправка в площадь вычисляется по формуле

При более точном вычислении поправок необходимо учитывать старшие степени разложения в рядах ( ) - ( ).

Очевидно, что

Подставляя значение точных производных в формулу ( ) после ряда преобразований получают

Поскольку масштаб изменяется вдоль линии S, то в ( ) выполняют численное интегрирование по формуле Симпсона.

Окончательное значение записывают так

где - значение масштабов в точках 1, 2, m кривой.

После нескольких преобразований формула ( ) приобретет вид

обратная зависимость имеет следующий вид

На практике достаточно ограничится тремя членами ряда формул

( ) и ( ).

Поправка в длину геодезической линии за кривизну изображения

на плоскости.

Это будет величина

S=S-d

Для расстояний до 60 км она составляет величину 0,001 м, поэтому в геодезических работах ее не учитывают.