Глава 4. Решение главных геодезических задач

на поверхности земного эллипсоида.

15. Виды геодезических задач.

В сфероидической геодезии, также как и на плоскости к главным геодезическим задачам относятся: прямая и обратная геодезическая задача.

Суть прямой геодезической задачи заключается в следующем. На поверхности эллипсоида задается точка , (рис. 14) с исходными координатами: геодезическими широтой , и долготой . Задана длина геодезической линии S с точки к точке и начальный азимут

геодезической линии.

Необходимо определить координаты точки и конечный азимут геодезической линии.

Суть обратной геодезической задачи заключается в следующем. Заданы геодезические координаты точек . Необходимо определить длину геодезической линии S между этими точками, ее прямой и обратный азимуты.

Точность вычисления всех угловых величин: широт, долгот и азимутов должны составлять .

16. Решение главных геодезических задач на шаре.

Составной частью решения главных геодезических задач на эллипсоиде является их решение на шаре.

Рассмотрим вначале решение на шаре прямой геодезической задачи.

Здесь даны: . Необходимо найти . Для вычисления широты точки запишем формулу косинуса стороны сферического треугольника для стороны .

(98)

В правой части этой формулы находятся заданные величины. В левой - искомая широта .

Для вычисления долготы необходимо записать две теоремы с участием разности долгот .

Теорему синусов

(99)

Тогда

(100)

И теорему пяти элементов с участием .

(101)

Если (100) разделить на (101), то получится искомый результат.

(102)

Для вычисления азимута по аналогии с определением разности долгот необходимо составить два уравнения: синусов и пяти элементов с участием , и заданных величин:

(103)

(104)

Если (103) переписать в виде

И разделить на (104), то получится окончательный результат

(105)

Таким образом по формулам (98),(102),(105) решается прямая геодезическая задача на шаре.

17. Решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде.

Наиболее общим решением как прямой, так и обратной геодезической задачи на эллипсоиде является решение Бесселя.

Для своего решения Бессель ввел следующие предположения:

1). Геодезическая линия на эллипсоиде S изображается на шаре дугой большого круга (рис. 16).

2). Широты точек на шаре равны приведенным широтам U на эллипсоиде.

3). Азимуты линий на шаре и эллипсоиде А равны между собой.

Следуя второму предположению на основе (98) найдем приведенную широту точки .

(107)

Исходя из (102) найдем тангенс азимута (106) линии в точке .

(108)

Переход от геодезических широт к приведенным и обратно как в (106) так и в (107) осуществляется по формуле (19). То есть по формуле

или

находится приведенная широта первой точки. Она подставляется в (107) и (108). По этим формулам вычисляется приведенная широта второй точки и азимут линии в точке . По (19) находится геодезическая широта.

При работе с формулами (107),(108) необходимо знать большого круга . При этом ее длина должна быть такой, чтобы удовлетворять второе и третье условие Бесселя.

18. Дифференциальные уравнения в способе Бесселя.

Для того, чтобы найти длину дуги необходимо вывести дифференциальные уравнения для длин дуг, широт, долгот и азимутов на шаре и на эллипсоиде.

Следуя рис. 17 и рис.10

можно записать, что

Но поскольку

Тогда

(109)

(110)

Известно, что

(111)

Тогда

(112)

Аналогичные соотношения можно записать для шара.

(113)

(114)

(115)

Тогда дифференциальные уравнения примут вид

(116)

(117)

(118)

Поскольку в соответствии с третьим предположением Бесселя , то исходя из (118) будет

(119)

Таким образом значение на основе (119) можно найти из интеграла.

(120)

но для простоты решения Бесселем осуществляется следующее интегрирование

(121)

Поскольку то

(122)

Но поскольку по (40) , а по (29) , то

(123)

Аналогично выводится дифференциальное уравнение и для разности долгот.

Так в соответствии с (117) при втором, и третьем условии Бесселя.

(124)

Но поскольку в соответствии с (40) а в соответствии с (19) то учитывая (124)

(125)

и тогда

(126)

Формулы (123) и (126) являются исходными для вычисления длин дуг и разности геодезических долгот.

19. Рабочие формулы для решения прямой

геодезической задачи по способу Бесселя.

Исходные величины: в начальной точке геодезической линии длинной S. Необходимо найти в конечной точке геодезической линии.

1. Вычисляются функции приведенной широты начальной точки

2. Вычисляется длина дуги большого круга по формуле

(127)

найденный из (123).

В (127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

3. Вычисляется поправка в разность долгот исходя из (126).

(133)

4. По формуле (104) вычисляется приведенная широта второй точки, а по ней

(134)

в соответствии с формулой (13).

5. По формуле (103) находится .

И (135)

6. По (105) находится азимут .

При вычислении и необходимо учитывать знаки по правилам, приведенным ниже.

Знак	+	+	-	-
Знак	+	-	-	+

знак	-	-	+	+
знак	+	-	+	-

20. Решение обратной геодезической задачи по способу Бесселя.

В данном случае исходными являются .Определяемыми - величины

Для решения на сфере напишем две формулы пяти элементов

(136)

и

(137)

Разделив (100) на (136) получим

(138)

Записав теорему синусов

(139)

и

(140)

после деления (140) на (137) получим

(141)

Без вывода приводим следующее выражение

(142)

Порядок решения обратной геодезической задачи исходя из (138), (141), (142) будет следующим.

Исходные величины: координаты - конечной и начальной точек линии.

Требуется найти: длину геодезической линии S между конечными точками, а также азимуты: в начальной точке и в конечной .

1. Подготовительные выполнения. Находим функции приведенной широты начальной и конечной точек

2. Последовательные приближения для вычисления начального азимута, сферического расстояния и разности долгот

В первом приближении

знак р	+	+	-	-
знак q	+	-	-	+

знак	+	-

3. Вычисления

4. Вычисление обратного азимута