Глава 3. Решение сферических треугольников.

13. Сферический избыток.

Из сферической тригонометрии известно, что сумма углов сферического треугольника больше на величину , которую называют сферическим избытком.

(70)

В сферическом треугольнике дуги являются дугами больших кругов и измеряются в градусной мере. Углы А, В, С являются углами между касательными к дугам в соответствующих вершинах треугольника.

Из сферической тригонометрии известно, что

(71)

(72)

(73)

где , , (74)

- длины сторон треугольника в линейной мере, R - радиус сферы.

В малых сферических треугольниках при км формулы (71) - (74) упрощают. Для этого используют разложение в ряд Тейлора.

(75)

Аналогичное разложение можно записать и для других сторон. Поскольку величины в третьей степени являются пренебрежительно малыми, то (71) - (74) можно переписать так

(76)

где

(77)

14. Формулы решения сферических треугольников.

Для вычисления длин сторон треугольника используется теорема синусов сферического треугольника

(78)

Если, например, сторона а задана, то другие можно вычислить так

(79)

(80)

Это проще формулы вычисления сторон, но поскольку в геодезических сетях стороны небольшие ( км.), то длины сторон можно вычислить по правилам решения плоского треугольника.

Существуют два способа такого решения:

а) введения поправок в сферические углы с сохранением длин сторон (способ Лежандра)

б) введением поправок в вычисляемые стороны с сохранением величины углов (способ аддитаментов)

Способ Лежандра.

В соответствии с этим способом следуя уравнениям (79), (80) стороны треугольника вычисляются по формуле

(81)

(82)

Способ аддитаментов.

В этом способе исходя из (79), (80) синусы сторон а,b,с разлагаются в ряд Тейлора. Тогда

(83)

(84)

Очевидно, что можно записать

(85)

(86)

Или на примере лишь стороны b

(87)

Тогда

(88)

Для длин сторон найдем

(89)

(90)

Формулы (89), (90) дают те же результаты, что и формулы (81), (82) Это можно доказать следующим образом. Учитывая, что

(91)

и выражая отсюда после его подстановки в первое уравнение (76) получим

(92)

По аналогии с (92) можно записать

(93)

Поскольку

(94)

то после подстановки (94) в (92) можно записать

(95)

Аналогично

(96)

Если (81), (82) разложить в ряд Тейлора и ограничиться первыми степенями , а (95), (96) подставить в (89), (90), то получится один и тот же результат.

Например, для стороны будет

(97)