Глава 2. Геодезическая линия.

10.Кривизна кривой. Главная нормаль.

Рассмотрим произвольную кривую, (рис.8)

с радиусами кривизны в точках А и В соответственно r и r+ и единичными векторами касательных и в этих точках. Отношение

при стремящемся к нулю равно кривизне кривой в точке А и записывается так:

(57)

Из равнобедренного треугольника BRL можно найти модуль вектора , т.е.

Поскольку , а угол мал, то

(58)

Тогда на основании (58) и (57) можно записать

(59)

Следовательно по модулю также является кривизной кривой, а его направление перпендикулярно вектору касательной.

В математике принято считать, что прямая, имеющая направление вектора и проходящая через соответствующую точку кривой называется главной нормалью кривой в данной точке.

11.Определение геодезической линии.

Геодезическая линия - это кривая, главная нормаль которой в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности. Она является кратчайшей линией между двумя точками поверхности.

Существует и другое определение геодезической линии. Суть его в следующем.

Если на поверхности (рис.9)

рассмотреть некоторую кривую АВ. то ее можно спроектировать как на касательную плоскость, так и на плоскость нормального сечения. Кривизну проекции кривой на касательной плоскости называют геодезической кривизной. Для геодезической линии она всегда равна нулю, то есть геодезическая линия изображается прямой линией. Поэтому можно определить, что геодезическая линия это есть дуга, геодезическая кривизна которой равна нулю.

Геодезическая линия - это пространственная кривая, обладающая как кривизной, так и

Без вывода приведем формулу кривизны геодезической линии в точке Q (рис.10), имеющей азимут А.

(60)

или

(61)

Радиус кривизны будет

(62)

где

Такой же кривизной обладает и нормальное сечение в точке Q.

12.Связь геодезической линии с нормальным сечением.

В решении геодезических задач на эллипсоиде длина геодезической линии не используется, так как измерения в геодезии выполняют по нормальным сечениям. Ее заменяют длиной нормального сечения. Установлено. Что разность длин нормального сечения и геодезической линии не превосходит 0.1 мм для расстояний порядка 1000 км.

Однако направления геодезической линии и нормального сечения не совпадают. На рис.11 через нормаль к поверхности эллипсоида в

точке в направлении на точку проведена плоскость. В результате получена дуга прямого нормального сечения . Дуга на рис.11 не видна, так как она находится в плоскости нормального сечения,

Нормальной проекцией точки является точка . Геодезическая линия на эллипсоиде по определению, будет проходить от точки до точки .Тогда направление нормального сечения и геодезической линии образуют угол dA. Этот угол является поправкой в измеренное направление для перехода к направлению соответствующей геодезической линии на эллипсоиде. Эта поправка вычисляется по формуле

(63)

- отрезок , являющийся геодезической высотой точки .

- геодезическая широта точки .

На практике кроме этого измеряются не дуги нормальных сечений, а прямые отрезки. По ним необходимо вычислить соответствующие дуги.

В общем случае вычисление дуги нормального сечения является сложной задачей. Ведь только для нормального сечения здесь нужно было бы вычислить следующий интеграл

(64)

Но здесь должны быть известны с высокой точностью геодезические координаты начальной и конечной точек линии. Но они как правило неизвестны.

В таком случае вместо дуги нормального сечения на эллипсоиде принимается дуга большого круга шара. Радиус шара принимается равным его величине на эллипсоиде в точке , вычисляемой по формуле (62). Такая замена возможна при расстоянии между точками и (рис. 12) не более 200 км. При этом расхождение между длиной дуги эллипсоида и шара составляет всего лишь 3 мм.

Для вычисления дуги S поступают следующим образом

Поскольку (рис. 12)

, (65)

то можно записать теорему косинусов

(66)

исходя из нее находят

(67)

Для вычисления хорды d можем записать, что

(68)

Очевидно, что

(69)

или