Введение.

1. Предмет высшей геодезии.

Высшая геодезия является одной из дисциплин геодезии. Ее предметом являются методы определения взаимного положения точек на всей поверхности Земли в единой системе координат. Основной задачей высшей геодезии является изучение фигуры Земли, под которой к настоящему времени понимают на суше поверхность твердой оболочки поверхности Земли, а на морях и океанах их невозмущенную поверхность.

Исходной координатной поверхностью по определению положения точек является математическая поверхность эллипсоида вращения. Размеры и ориентировка эллипсоида определяются так, чтобы он наилучшим образом совпадал с поверхностью геоида. Такой эллипсоид называется земным эллипсоидом или земным сфероидом.

Высшая геодезия состоит из двух частей. Первая часть называется теоретической геодезией, вторая сфероидической геодезией.

Предметом теоретической геодезии являются методы определения параметров земного эллипсоида, приведения (редуцирования) результатов измерений на поверхность эллипсоида. Проблема редуцирования вызвана тем, что все геодезические измерения выполняются геодезическими приборами, которые занимают отвесное положение, но отвесные линии не совпадают с нормалями к поверхности эллипсоида, по которым должно проводиться редуцирование результатов измерений на его поверхность. Для решения задачи редуцирования используются результаты геодезических, гравиметрических, астрономических и спутниковых измерений.

Предметом сфероидической геодезии являются методы определения координат точек на сфероиде т.е. земном эллипсоиде и над его поверхностью, а также методы определения плоских координат точек сфероида при его картографическом проектировании на плоскость.

Изучение высшей геодезии на специальности земельный кадастр вызвано следующим:

1. К настоящему времени координирование границ земельных участков выполняется как электронными тахеометрами, так и глобальными позиционными системами (GPS)Определение приращения координат с помощью последних осуществляется в геоцентрической системе координат. Координаты исходных пунктов известны в проекции Гаусса - Крюгера. При этом для обработки GPS - сети необходимо от плоских координат перейти к геодезическим (широте и долготе), найти геодезическую высоту т.е. высоту точки над эллипсоидом по его нормали и по этим данным вычислить геоцентрические прямоугольные координаты исходных пунктов. Все эти вопросы решаются методами сфероидической геодезии.

2. При определении площадей больших территорий (районов, областей) их разбивают на трапеции. Площадь каждой трапеции может быть определена по прямоугольным координатам в проекции Гаусса - Крюгера. По ней вычисляется ее площадь на эллипсоиде, от которой после введения соответствующих поправок переходят к площади на физической поверхности Земли. Вычисление прямоугольных координат углов трапеций их площадей как на плоскости так и на поверхности эллипсоида также является предметом сфероидической геодезии.

Глава 1. Земной эллипсоид.

2. Системы координат, применяемые в высшей геодезии.

Система геодезических координат. Положение точки земной поверхности относительно земного эллипсоида определяется геодезической широтой, геодезической долготой и геодезической высотой.

Геодезическая широта - это угол В между нормалью к эллипсоиду, которая проходит через данную точку М (рис. 1) и плоскостью экватора.

Геодезическая долгота - это двугранный угол L между плоскостями, гринвичского меридиана и меридианной точки М. Долгота отсчитывается от гринвичского меридиана на восток против хода часовой стрелки.

Геодезическая долгота Н - это расстояние по нормали к эллипсоиду от его поверхности (точки М) до заданной точки.

Геоцентрическая система координат.

Начало геоцентрической системы координат совпадает с центром О эллипсоида.

Ось Z геоцентрической системы координат совпадает с осью вращения эллипсоида. Ось Х - находится в пересечении плоскостей меридиана Гринвича и экватора. Ось У дополняет систему до прямоугольной. Положение точки М определяется прямоугольными координатами Хм, Yм, Zм.

Топоцентрическая система координат.

В данной системе координат ее начало О находится на поверхности эллипсоида (рис. 3).

Ось Х является положительной к меридиану в точке О направлена к северному полюсу эллипсоида, У - ей перпендикулярная, совпадает с касательной к параллели, а ось Z направлена в зенит и дополняет систему координат до прямоугольной. Положение точки М определяется соответственно: Xм, Yм, Zм.

3. Основные геометрические параметры земного эллипсоида.

К основным геометрическим параметрам земного эллипсоида относятся: большая полуось а и полярное сжатие

(1)

где в - малая полуось эллипсоида.

На основе этих параметров определяются две важные величины - первый эксцентриситет эллипсоида е из выражения

(2)

и второй эксцентриситет

(3)

В России к настоящему времени принят эллипсоид Красовского, выведенный им в 1942 году. Его параметры следующие.

а = 6378245 м.

или

на основе параметров (1) - (3) могут выводиться другие, которые здесь не рассматриваются.

Геодезические системы отсчета. Существуют общеземные и референцные гео-зические системы отсчета. Общеземные Геодезические системы отсчета (Geodetic Reference Systems) включают в себя параметры земного эллипсоида, гравитационного ля Земли и гринвичскую геоцентрическую прямоугольную систему координат, закрепляемую координатами пунктов космической геодезической сети. Важнейшими параметрами Земли являются: fM - произведение гравитационной по-оянной на массу; ω - угловая скорость вращения; а - экваториальный радиус; и α - сжатие, которым соответствуют большая полуось и сжатие земного эллипсоида, с -cкорость света в вакууме. Включение скорости света в число параметров обусловлено м, что современные линейные измерения основаны на определении времени распро-ранения электромагнитных волн; скорость света устанавливает линейный масштаб одезических построений. В табл. 1 и 2 указаны значения некоторых физических и ге-гетрических параметров.

Таблица 1. Физические параметры Земли ПЗ-90

Параметр	Значение
fM	398 600,441 09 м3/с2
ω	7 292 11 5- Ю-1 'рад/с
с	299 792 458 м/с

Таблица 2. Геометрические параметры эллипсоидов

Система координат	Полуось а, м	Сжатие а
СК-42, СК-95	6 378 245	1/298,3
ПЗ-90	6378136	1/298,257 839 303
WGS-84	6378137	1/298,257 223 563
GRS-80	6378137	1/298,257222101

Поверхность и полюса Земли подвержены геодинамическим процессам: ось суточно-вращения движется в теле Земли и перемещается относительно небесных тел. Поэтому координатная ось Z, как определено рекомендациями Международной службы вращения Земли IERS(International Earth Rotation Service), направлена на точку Услов­но земного полюса (СТР - Сопvеntyопаl Теггеstrial Ро1е), соответствующему среднему люсу за 1900-1905 гг., исправленному на нутацию; ось X находится в плоскости ме­диана Гринвича, при этом оси X и У лежат в плоскости экватора и образуют правую стему координат. Начало координатной системы расположено в центре масс Земли. Составной частью координатных систем являются опорные геодезические сети (Geodetic Reference Frame). Они фиксируют положение координатной системы в теле Земли.

4. Уравнение поверхности эллипсоида.

В общем случае уравнение эллипсоида имеет вид

(4)

Полагая

можно записать

(5)

В сфероидической геодезии большое значение имеет так называемая приведенная широта. С ее помощью упрощаются теоретические выкладки.

Если в какой - либо точке эллипсоида А отложить отрезок длинной а от нее до оси вращения эллипсоида, то угол U (рис. 4) между этим отрезком и плоскостью экватора называется приведенной широтой. На рис. 4 АС = а.

На его основании можно записать

(6)

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5) получим

(8)

Равенство (8) возможно лишь в том случае, если АВ = в . Это равенство имеет важное значение в дальнейших выводах.

С помощью приведенной широты геоцентрические координаты точки А можно записать так

(9)

4. Связь между приведенной широтой и геодезической широтой точки А.

Зададим бесконечно малое приращение дуги меридиана АА1, введя соответствующие приращения длины параллели dr и координаты z точки А dz. Угол в точке А, образуемый направлением касательной к эллипсоиду и параллелью, равен 90 - В. Очевидно, что

(10)

на основании (6), (7) найдем

(11)

(12)

Тогда, подставляя (11) , (12)в (10) найдем

(13)

Выражение (13) является исходным для установления связи между геодезической широтой В и приведенной U.

В сфероидической геодезии часто применяются следующие два выражения

(14)

, (15)

которые называются соответственно первой и второй сфероидическими функциями. Очевидно, что всегда V > W. Причем, исходя из (14) и (15), можно получить, что

(16)

Применяя (16) к (13) можно установить, что

(17)

или

(18)

Следовательно

(19)

на основании (13) можно установить также, что

(20)

6. Дифференциалы дуг меридианов и параллелей.

При решении всех геодезических задач на сфероиде необходимо знать длины дуг меридианов и параллелей. Они в свою очередь вычисляются через дифференциалы. Для вывода дифференциала дуги используют известную в математике связь дифференциала и радиус - вектора и дуги ds/

(21)

Геометрически эта связь интерпретируется рис. 6.

Из рис. 6 следует ,что если r устремлять к нулю, то его направление совпадает с направлением касательной в точке А, т.е., с вектором , а по абсолютной величине его значение будет равно дуге ds в той же точке.

На основе правил линейной алгебры запишем

(22)

где - единичные векторы.

В соответствии с (21) можно положить

(23)

на основе (9) можно записать

(24)

Исходя из (23) длину дуги ds можно вычислить так

(25)

Формулу (25) перепишем для вычисления дифференциалов дуг меридиана и параллели. Для меридиана положим L= const и соответственно dL=0. Тогда в соответствии с (24).

(26)

а для параллели, при U= const и dU=0

(27)

В дальнейшем дугу меридиана будем обозначать через Х, а длину параллели через Y. Выразим теперь соответствующие дифференциалы через геодезическую широту и долготу.

Используя соотношения (19) и (20) выражение (26) перепишем.

(28)

Поскольку, в соответствии с (16)

(29)

то

(30)

но поскольку

(31)

то

(32)

или

(33)

Для дифференциала дуги параллели на основе (27) с учетом (19) найдем

(34)

7. Главные радиусы кривизны на эллипсоиде.

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесконечное число плоскостей. Следы сечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида образуют кривые различного радиуса кривизны. Однако среди них можно выбрать две кривые, соответственно, с максимальным и минимальным радиусами. Сечения вдоль таких кривых называют главными нормальными сечениями.

Первое из них находится в плоскости меридиана, второе - в плоскости главного вертикала. Плоскость первого вертикала образует с плоскостью параллели угол широты В, а единичный вектор направления дуги первого вертикала перпендикулярен такому же вектору меридиана в данной точке (рис.7).

Проще говоря первое главное нормальное сечение направлено вдоль меридиана на север, а второе - вдоль первого вертикала с востока на запад.

Найдем радиусы кривизны этих сечений. Обозначим через М - радиус кривизны меридиана, а N - радиус кривизны первого вертикала.

Очевидно, что

(35)

Тогда согласно (35) найдем

(36)

Из рис. 7 следует, что

(37)

или

(38)

Поскольку r является радиусом кривизны параллели, то

(39)

Тогда с учетом (39) на основе (38)

(40)

Для простоты вычислений (36) и (40) разлагают в ряд Тейлора и получают следующую запись

(41)

(42)

где

,

а остальные коэффициенты вычисляются по и в соответствии с разложением в ряд.

Средний радиус кривизны вычисляется по формуле

(43)

8. Длины дуг меридиана и параллели.

В соответствии с (33) и (34) длины дуг меридиана между широтами и , а также параллели между долготами и определяются следующим образом

(44)

(45)

Для вычисления интеграла (44) используют выражения (41) - (43). В результате для эллипсоида Красовского получают

(46)

Длина дуги параллели вычисляется по формуле

(47)

9. Площадь сфероидической трапеции.

Зная дифференциалы дуг меридиана и параллели легко можно вычислить дифференциал площади. Согласно (33) и (34) можно записать

(48)

Для полной трапеции, заключенной между широтами , а также долготами необходимо (48) проинтегрировать. Тогда

(49)

Поскольку подинтегральная функция не зависит от долготы, то (49) можно записать так

(50)

Для его интегрирования полагают

(51)

тогда

(52)

(53)

С учетом (52) и (53) выражение (51) можно записать так

(54)

Этот интеграл является табличным. После его интегрирования и возврата к исходной переменной в соответствии с (51) окончательно можно записать

(55)

Кроме этой формулы используют другую, получаемую в результате разложения выражения в ряд Тейлора. Почленным интегрированием здесь получают такую формулу

(56)