8. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Теорема Крамера. Пусть =detA , а _j - определитель матрицы, полученной из A заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то СЛУ имеет единственное решение, определяемое по формулам: xj = (3)

Если =0, а хотя бы один из определителей ₁ , ₂ , ....., _n 0, то система несовместна.

Если =₁=₂ = ... =_n=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Решим предыдущий пример по формулам Крамера.

= -11; ₁ =

₂ = = 3-20+9-25 = -33

 ₃ = = 9-5-20-6 = -22

x = = -1 ; y = =3 ; z = =2.

9. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Сущность метода Гаусса состоит в том, что посредством элементарных преобразований расширенная матрица системы (1) приводится к диагональному или ступенчатому виду, из которого все решения системы усматриваются непосредственно. Метод Гаусса состоит из прямого хода и обратного.

Прямой ход метода Гаусса.

Пусть в системе (1) коэффициент a₁₁0. Если бы было a₁₁=0, то на 1-ое место в системе (1) мы поставили бы уравнение, в котором коэффициент при x₁ отличен от нуля. Элемент а₁₁ называется разрешающим элементом на 1-ом шаге, строка и столбец, в которых он находится - разрешающими строкой и столбцом.

Шаг 1 (исключение переменной x₁ из всех уравнений системы, кроме 1-го ). Элементы 1^ой строки остаются неизменными. Элементы 1-го столбца, расположенные ниже элемента а₁₁, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований. Все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

... . . . . . ...

. .. a_ks . . . a_kj ... a_ij = a_ksa_ij - a_kja_is

... . . . . . ... a_ks - разрешающий элемент

... a_is . . . a_ij ... a_ij - пересчитываемый элемент

В результате преобразований получим матрицу:

Шаг 2. Если в этой матрице встречается строка (0 0 ... 0 ), где 0, то система (1) несовместна. Если этого не произойдет, то, предполагая, что 0, изо всех строк, кроме первых двух, исключим, аналогично шагу 1, неизвестную x₂ .

Аналогичная процедура проводится для исключения остальных неизвестных. При этом все элементы разрешающей строки и строк, расположенных выше, остаются неизменными; элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований, все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника (разрешающими элементами являются диагональные элементы матрицы).

Обратный ход метода Гаусса.

Для обнуления верхнего треугольника матрицы (выше главной диагонали) используется обратный ход. Если при прямом ходе разрешающими последовательно выбирались элементы главной диагонали матрицы, то при обратном ходе таковыми будут элементы той же диагонали, но выбираемые в обратном порядке. Пересчет элементов матрицы при обратном ходе выполняется по следующим правилам:

1. элементы разрешающей строки остаются неизменными;

2. элементы разрешающего столбца, расположенные выше разрешающего элемента, обращаются в нули и остаются таковыми до конца преобразований;

3. все прочие элементы вычисляются по правилу прямоугольника.

Если к расширенной матрице справа приписать столбец , составленный из сумм элементов соответствующих строк, и преобразовывать его по правилам гауссовых исключений, то после каждого шага сумма элементов i-ой строки расширенной матрицы должна равняться соответствующему элементу преобразованного столбца . Контроль вычислений можно осуществлять как при прямом, так и при обратном ходе.

Замечание. Правило прямоугольника соответствует следующим элементарным преобразованиям: умножению пересчитываемой строки на разрешающий элемент и вычитанию из полученной таким образом строки разрешающей строки, умноженной на элемент, находящийся в пересчитываемой строке в разрешающем столбце.

Достоинства метода Гаусса.

1. Значительно менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

2. Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество).

3. Даёт возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Недостатки метода Гаусса.

1. Если ведущий элемент равен нулю, то схема непригодна.

2. Данная схема чувствительна к ошибкам округления – большие погрешности при делении на малые числа, появление больших по величине промежуточных результатов, потеря точности при вычитании больших (близких друг к другу) чисел.

Пример. Решим методом Гаусса ту же самую СЛУ, которую мы решали методами обратной матрицы и методом Крамера.

 =

=  ~

 =

= 

~ = = 

 =

= 