4. Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной (невырожденной), если detA=0 (detA 0).

Определение. Матрица называется правой (левой) обратной к матрице , если АВ=I (CA=I).

Теорема. Если для матрицы А существуют левая обратная матрица С и правая обратная матрица B, то С=B.

Доказательство.

С=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрице A на данную матрицу А как справа, так и слева, получается единичная матрица: A

Понятие о необходимом и достаточном условиях.

Любую теорему можно записать в виде: , где А-условие теоремы а B- её заключение. Высказывание В называется необходимым условием для А, а высказывание достаточным условием для В.

Если высказывания А и В таковы, что (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным условием другого и пишут .

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

Пример. Вычислить для матрицы А матрицу , пользуясь определением обратной матрицы.

Решение.

detA=18-20=-2. Следовательно обратная матрица существует.

Пусть , тогда, по определению обратной матрицы,

Таким образом, обратная матрица имеет вид:

Проверим выполнение условия А

Итак,

Свойства обратной матрицы.

Если detA 0 и detВ 0, то:

Вычисление обратной матрицы.

Пусть . Тогда где матрица С имеет вид:

Матрица С называется союзной или присоединённой по отношению к матрице А. Элемент матрицы с равен алгебраическому дополнению A_ji элемента исходной матрицы А,

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение.det A=6-4=2

5. Ранг матрицы. Базисный минор.

Рассмотрим матрицу mxn Выделим из этой матрицы r строк и r столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу размерами rxr. Определитель полученной матрицы называется минором r-го порядка.

Определение. Рангом матрицы А называется целое число r, если у матрицы есть минор r-го порядка, от личный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю. Минор r-го порядка называется базисным минором М_б. Ранг матрицы обозначается rangA=r.

Если существует элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы не меньше 1. Если все элементы матрицы равны 0, то ранг матрицы равен 0. Если у квадратной матрицы основной определитель detA отличен от нуля, то rangA=n. У матрицы может быть несколько базисных миноров, но с одним и тем же рангом.

Столбцы и строки, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными столбцами (строками).

Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Ранг матрицы не меняется

- при перемене местами двух строк (столбцов)

- при умножении строки на число, не равное нулю

- при транспонировании

- при линейном преобразовании.

Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы

1. Если все элементы a_ij равны нулю, то rangA=0.

2. В противном случае приводим первую строку к виду 1 0 0 0 … 0 по следующей схеме:

1. Выбираем отличный от нуля элемент матрицы (для примера пусть а₂₃≠0)

2. Помещаем этот элемент в левый верхний угол (меняя местами строки 2-ую и 1-ую и столбцы 3-й и 1-ый)

3. Комбинируя первую строку с другой, умноженную на некоторое число, с тем, чтобы новый элемент а₁₁=1

4. Соответствующими комбинациями обращаем все остальные элементы первой строки в нули

5. Если в заштрихованной части матрицы все элементы равны нулю, то ранг матрицы равен 1.

3. Если хотя бы один элемент отличен от нуля, то пункт 2 повторяется только в качестве разрешающего элемента будет а₂₂. . Если в заштрихованной области все элементы равны нулю, то ранг матрицы будет равен 2.

4. Окончательно получим . Следовательно rangA=r.

Пример. Определить ранг и базисный минор матрицы:

В первом преобразовании поделили 1-ую, 3-ю и 4-ую строки на 2; затем поменяли местами 1-ый и 2-ой столбцы, далее вычли из третьего столбца первый и наконец умножили второй столбец на 2 и вычли из третьего. В результате всех преобразований получили, что rangA=2.

Замаркировав базисные строки и столбцы и пройдя в обратном порядке, получим базисный минор