Лекции алгебра матриц.

План лекций

1. Основные понятия алгебры матриц.

2. Определители, вычисление, свойства определителей.

3. Операции над матрицами.

4. Обратная матрица.

5. Ранг матрицы. Базисный минор.

6. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

10. Метод полного исключения.

1. Основные понятия алгебры матриц.

Определение. Матрицей А размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами.

Элементы матрицы А обозначаются как a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых располагается данный элемент,

Часто матрицу А записывают в сокращённом виде:

Виды матриц.

1. Квадратная матрица: m = n

• Число n называется порядком матрицы.

• Упорядоченная совокупность элементов a₁₁, a₂₂,…,a_nn называется главной диагональю квадратной матрицы, а упорядоченная совокупность элементов a_1n,a_2,n-1,…,a_n1 – побочной диагональю.

• Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы A называется следом (шпуром) матрицы A: Sp A=

2. Верхняя треугольная матрица – матрица, у которой элементы a_ij = 0 при i > j, i,j = .

3. Нижняя треугольная матрица – матрица, у которой элементы a_ij = 0 при i < j, i,j = .

4. Диагональная матрица – матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

5. Единичная матрица - диагональная матрица, у которой все элементы a_ii=1,

где - символ Кронекера.

6. Симметрическая матрица - матрица, у которой все элементы , . В этом случае говорят, что элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.

7. Если , , то матрица называется кососимметрической.

8. Нулевая матрица – матрица, у которой все элементы

9. Матрица А называется ступенчатой (трапецеидальной), если она имеет вид:

где

10. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, матрица, состоящая из одного столбца – вектором-столбцом.

Матрицы A и B называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

Матрица называется транспонированной к матрице если и обозначается: B =

Пример.

2. Определители, вычисление, свойства определителя.

Определение. Перестановкой J n-го порядка называется всякое расположение n чисел 1, 2, …, n.

Общее число всех перестановок n-го порядка равно . В общем виде перестановку записывают в виде вектор-строки: J= (j₁ j₂ … j_n). Перестановка (1 2 3 4 … n) называется нормальной.

Беспорядком или инверсией в перестановке J называется наличие пары чисел, в которых большее число предшествует меньшему. Число инверсий в перестановке J обозначим r(J). Если это число чётное, то перестановка называется чётной, иначе – нечётной.

Определение. Определителем (детерминантом) n-го порядка квадратной матрицы A называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём знак каждого члена определяется как , где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы (j₁ j₂ … j_n), если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

,

где сумма берётся по всем перестановкам J.

Определители 2-го и 3-го порядков.

1. n=2. Существует 2!=2 перестановки номеров столбцов матрицы :

J₁= (1 2) r(J₁) =0. J₂= (2 1) r(J₂) =1.

Тогда, по определению детерминанта n-го порядка

Мнемоническое правило: определитель 2-го порядка равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.

Пример.

2. n=3. Число перестановок номеров столбцов равно 3! =1 2 3 =6.

J₁= (1 2 3) r (J₁) =0; J₂= (1 3 2) r (J₂) =1; J₃= (2 1 3) r (J₃) =1;

J₄ =(2 3 1) r (J₄) =2; J₅ = (3 1 2) r (J₅) =2; J₆ = (3 2 1) r (J₆) = 3

Тогда, по определению детерминанта n-го порядка,

Мнемоническое правило треугольников Сарруса.

+ -

a22

Определитель 3-го порядка равен алгебраической сумме 6 тройных произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «-» берутся произведения, сомножители которых стоят на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали.

Пример.

Существует также мнемоническое правило диагоналей Сарруса для вычисления определителя 3-го порядка: нужно приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных ей:

a ₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂

a ₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₂ = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₁₂a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂

- - - + + +

Для предыдущего примера:

1 0 3 1 0

2 4 6 2 4

5 7 8 5 7

- - - + + +

Миноры и алгебраические дополнения.

Определение Минором M_ij элемента a_ij квадратной матрицы А n-го порядка называется детерминант матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определение Алгебраическим дополнением (адъюнктом) A_ij элемента a_ij квадратной матрицы A n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком

(-1)^i+j : A_ij = (-1)^i+j M_ij.

Теорема Лапласа (теорема разложения).

Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-ой строки, ) или

(разложение по элементам j-го столбца, ).

Следствие 1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. при

Следствие 2. Сумма произведений произвольных чисел b₁, b₂, …, b_n на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна детерминанту матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁, b₂, …, b_n .

Практически детерминант раскладывают по элементам строки или столбца, в которых больше всего нулей.

Пример. Вычислить .

Решение:

1-й способ. Разложим по элементам 4-й строки. Вычислим алгебраические дополнения её ненулевых элементов.

1 1 -1 2 1 -1 2

0 1 2 1 = 0 2 1 = 2+0-1-4-0-0 = -3.

1 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1

1 1 -1 2 1 1 -1

0 1 2 1 = 0 1 2 = 0+2+0+1+0-2 = 1.

1 1 0 1 1 1 0

0 1 0 1

Тогда по теореме Лапласа

2-ой способ. Разложим по элементам 3-го столбца. Для этого вычислим алгебраические дополнения его ненулевых элементов.

1 1 -1 2

0 1 2 1 = 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1 = 0+0+1-0-1-0 = 0.

1 0 1 1 0 1 0

1 1 -1 2

0 1 2 1 1 1 1

1 1 0 1 = - 1 1 1 = - (1+0+2-0-1-1) = -1.

0 1 0 1 0 1 1

3-ий способ. Разложим по элементам 1-го столбца. Для этого вычислим алгебраические дополнения его ненулевых элементов.