Формула полной вероятности (формула Байеса)

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем:

Теорема доказана.

Формула Бернулли

Часто встречаются задачи, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие . Нас будет интересовать число наступлений события в серии из испытаний.

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – появление события (“успех”) или не появление его (“неудача”), при этом “успех” в каждом испытании происходит с вероятностью , а неудача с вероятностью .

Теорема (формула Бернулли). Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровно раз:

Доказательство.

Все испытаний можно рассматривать как одно сложное испытание, имеющее возможных исходов. (Например, при возможные исходы такого сложного испытания – ).

1. Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно расположить успехов на различных местах, то есть равно .

2. Вероятность каждого отдельного исхода можно подсчитать по формуле произведения вероятностей независимых событий. Например, вероятность появления комбинации: равна . Очевидно, что вероятности остальных комбинаций равны также .

Поскольку все исходы являются несовместными событиями, то вероятность, что событие в испытаниях появится ровно раз: .

Определение. Числа называются биномиальными вероятностями.

Примеры решения задач

Задача 1. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы п, р, с, о, т. Перемешанные карточки вынимаются наудачу по одной и располагаются в одну линию. Какова вероятность прочесть слово "спорт"?

Решение. Искомую вероятность события А (можно прочесть слово "спорт") определим по формуле Здесь общее число всевозможных исходов – число перестановок из 5 элементов. Благоприятствующим исходам отвечает одно слово "спорт", т. е. . Таким образом, .

Задача 2. Среди 17 учеников класса, в которой 9 юношей, производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый ученик может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?

Решение. Обозначим событие А – среди 7 обладателей билетов будет 4 девушки. Количество равновозможных способов выбора по 7 человек из 17 равно .

Число благоприятных исходов, т. е. число выборок по 7, в которых 4 девушки сочетаются с 3 юношами, определяется по правилу произведения . Тогда искомая вероятность .

Задача 3. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых 4 – с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых будут: а) все без дефектов; б) все одинакового качества.

Решение. а) Событие А – все 3 наудачу взятые из 10 велосипедов без дефектов. Число возможных исходов . Три велосипеда без дефектов можно выбрать из 6 имеющихся способами. Искомая вероятность .

б) Событие В – все 3 велосипеда одного качества, т.е. или 3 годные, или 3 с дефектами. Три годные из 6 можно выбрать способами, а 3 с дефектами из 4 имеющихся способами. Общее число способов выбора 3-х велосипедов одинакового качества по правилу суммы равно . Следовательно, .

Задача 4. Тонкую иглу (точку) бросают на отрезок . Какая вероятность того, что она попадет на отрезок ?

Решение. По условию игла может упасть в любую точку указанного отрезка. В данном случае перечислить все точки отрезка невозможно. Воспользуемся геометрическим определением и в качестве меры выберем длину отрезка . Интересующему нас событию благоприятствует ситуация, когда игла упадет в любую точку отрезка . Тогда .

Задача 5. В ящике 50 кубиков, из которых 5 неокрашенных. Наудачу последовательно извлекаются 3 кубика. Определить вероятность того, что все извлеченные кубики окрашены.

Решение. Обозначим события:

– 1-й извлеченный кубик окрашен;

– 2-й извлеченный кубик окрашен;

– 3-й извлеченный кубик окрашен.

Эти события зависимые, их вероятности находим по формулам:

, , .

Обозначим через D событие, состоящее в том, что все 3 кубика окрашены. Это событие можно представить в виде , тогда его вероятность найдем по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

.

Задача 6. Детали поступают на конвейер с трех станков. Первый станок производит 25% всех деталей, второй 35% и третий 40% деталей. Первый станок выпускает 1% бракованных деталей, второй 3% , третий 5%. Определить вероятность того, что случайно выбранная с конвейера деталь окажется бракованной.

Решение. Введем обозначения событий: - деталь окажется бракованной; события - деталь изготовлена соответственно первым, вторым или третьим производителем. По условию задачи:

, , ;

, , .

По формуле полной вероятности находим:

Задача 7. Для контроля качества из партии деталей отбирается 5 деталей. Партия бракуется, если в выборке хотя бы две бракованные детали. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,01.

Решение. Найдем вероятность того, что в выборке из 5 деталей будет не более одной бракованной детали:

.

Тогда вероятность того, что партия будет забракована: .