16. Силы инерции во вращающейся системе отсчета и их применение. Сила Кориолиса.

 При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центростремительной и центробежной сил, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции

Здесь    – сила Кориолиса, также являющаяся силой инерции,    – угловая скорость вращения диска.

       Сила Кориолиса вызывает кориолисово ускорение. Выражение для этого ускорения имеет вид

       Ускорение направлено перпендикулярно векторам     и     и максимально, если относительная скорость точки     ортогональна угловой скорости     вращения подвижной системы отсчета. Кориолисово ускорение равно нулю, если угол между векторами     и     равен нулю или  π, либо если хотя бы один из этих векторов равен нулю.

       Следовательно, в общем случае, при использовании уравнений Ньютона во вращающейся системе отсчета, возникает необходимость учитывать центробежную, центростремительную силы инерции, а также кориолисову силу.

       Таким образом,     всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Сила Кориолиса возникает только в случае, когда тело изменяет свое положение по отношению к вращающейся системе отсчета.

Влияние кориолисовых сил необходимо учитывать в ряде случаев при истолковании явлений, связанных с движением тел относительно земной поверхности. 

 Если тело удаляется от оси вращения, то сила     направлена противоположно вращению и замедляет его.         Если тело приближается к оси вращения, то     направлена в сторону вращения.

       С учетом всех сил инерции, уравнение Ньютона для неинерциальной системы отсчета примет вид:

 – сила инерции, обусловленная поступательным движением неинерциальной системы отсчета;   – две силы инерции, обусловленные вращательным движением системы отсчета;   – ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета:

   

17. Преобразование координат Галилея. Механический принцип относительности. Закон сложения скоростей. Инварианты преобразования.

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную (К) и движущуюся относительно первой вдоль оси Х с постоянной Х с постоянной скоростью   (K’). Координаты тела М в системе К x:y:z , а в системе К’ - x’:y’:z’. Эти координаты связаны между собой соотношениями, которые называються преообразованием Галилея

Дифференцируя эти уравнения по времени и учитывая, что  , найдем соотношения между скоростями и ускорениями:

Таким образом, если в системе К тело имеет ускорение а, то такое же ускорение оно имеет и в системе К’.

Согласно второму закону Ньютона:

т.е. второй закон Ньютона одинаков в обоих случаях.

При   движение по инерции, т.о., справедлив и первый закон Ньютона, т.е. рассматриваемая нами подвижная система является инерциальной. Следовательно, уравнения Ньютона для материальной точки, а также для произвольной системы материальных точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета - инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Этот результат называется механическим принципом относительности (принцип относительности Галилея), и формулируется следующим образом: равномерное и прямолинейное движение (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на закономерности протекания в ней механических процессов. Следовательно, в механике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Поэтому никакими механическими опытами внутри системы нельзя обнаружить движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится.

Механический принцип относительности

1. Координаты и время в двух произвольных инерциальных системах отсчета связаны преобразованием Галилея: r' = r - (r0 + vet), (ve = const) t' = t где r и r' - раднус-векторы движущейся точки в первой и второй системах отсчета, ve - скорость равномерного и прямолинейного движения второй системы по отношению к первой, а r0 - радиус-вектор, проведенный из начала первой системы в начало второй системы в момент времени t = 0. Второе условие (t' = t) выражает абсолютный характер времени в классической механике, т. е. одинаковость его течения во всех инерциальных системах отсчета. 2. Скорости и ускорения материальной точки в обеих системах отсчета связаны соотношениями: v' = dr'/dt = dr/dt - ve = v - ve a' = dv'/dt = dv/dt = a Ускорение какой-либо материальной точки во всех инерциальных системах одинаково. В самом общем случае силы, действующие на материальную точку со стороны других тел или создаваемых ими полей, зависят от расстояний между точкой и этими телами, разностей между скоростями движения точки и тел, а также от времени. Из формул преобразования Галилея следует, что все эти величины во всех инерциальных системах одинаковы: r'2 - r'1 = r2 - r1 и v'2 - v'1 = v2 - v1 Поэтому одинаковы и силы, действующие на движущуюся материальную точку: F' = F Следовательно F'/a' =F/a = m т.е. уравнения движении материальной точки и систем этих точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета - инвариантны по отношению к преобразованию Галилея. 3. Этот результат можно сформулировать в виде механического принципа относительности: равномерное и прямолинейное движение (относительно инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на ход протекающих в ней механических процессов. Иными словами, в механике все инерциальные системы равноправны. Поэтому в рамках классической механики нет никаких оснований для выделения какой-либо определенной «главной» системы отсчета, по отношению к которой покой и движение тел можно было бы считать абсолютными.

Закон сложения скоростей

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и k'. Система k' движется относительно k со скоростью  v = const  вдоль оси x. Точка М движется в двух системах отсчета (рис. 8.1).

  Рис. 8.1

       Найдем связь между координатами точки M в обеих системах отсчета. Отсчет начнем, когда начала координат систем совпадают, то есть  t = t'. Тогда:

(8.1.1)

       Совокупность уравнений (8.1.1) называется преобразованиями Галилея.

       В уравнениях (8.1.1) время  t = t', т.е. в классической механике предполагалось, что время течет одинаково в обеих системах отсчета независимо от скорости. («Существует абсолютное время, которое течет всегда одинаково и равномерно», – говорил Ньютон). В векторной форме преобразования Галилея можно записать так:

(8.1.2)

       Продифференцируем это выражение по времени, получим (рис. 8.2):

или          .

(8.1.3)

  Рис. 8.2

       Выражение (8.1.3) определяет закон сложения скоростей в классической механике. Из него следует, что скорость движения точки М (сигнала)   в системе k' и   в системе k различна.

Инвариа́нт в физике — физическая величина, значение которой в некотором физическом процессе не изменяется с течением времени.^[1] Примеры: энергия, компоненты импульса и момента импульса в замкнутых системах.

Также инвариантами называются величины, независимые от условий наблюдения, в особенности — от системы отсчета — например интервал в теории относительности инвариантен в этом смысле. Промежуток времени между двумя событиями, а также расстояние между ними (местами событий) для наблюдателей, движущихся в различных направлениях с разными скоростями, будут разными, однако интервал между этими событиями для всех наблюдателей будет один. К этой же категории относится, например скорость света в вакууме. Такие величины, в зависимости от класса систем отсчета, при переходе между которыми сохраняется инвариантность данной величины, называют лоренц-инвариантными (инвариантами группы Лоренца) или инвариантами группы общекоординатных преобразований (рассматриваемыми в общей теории относительности); для ньютоновской физики может иметь смысл также рассматривать инвариантность относительно преобразований Галилея (инвариантными относительно таких преобразований являются компоненты ускорения и силы).

Понятие инвариантности (инвариантов) в физике лежит в русле принятого в математике понятия «инвариант преобразований (группы преобразований)» (той или иной конкретной группы преобразований — сдвигов времени, преобразований Лоренца и т. п.).