3.3 Вектор скорости точки

ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИ

Рисунок 4

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент t₁ приходит в положение M_l, определяемое вектором (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором , который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. 4, а), и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 4, б).

Из треугольника ОМ M₁ видно, что , следовательно,

.

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени Δt:

Направлен вектор так же, как и вектор , т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ₁ в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от деления на Δt направление вектора не изменяется).

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени Δt, для которого вычислена средняя скорость, тем велича будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени Δt к нулю:

Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом dr̅/dt. Окончательно получаем

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ₁ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула (8) показывает также, что вектор скорости v̅ равен от-

отношению элементарного перемещения точки dr̅, направленного по

касательной к траектории, к соответствующему промежутку вре-

времени dt.

При прямолинейном движении вектор скорости v̅ все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости L/T, т. е. длина/время; качестве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в позже.

3.4 Вектор ускорения точки

ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

Рисунок 5

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v̅, а в момент t₁ приходит в положение М₁ и имеет скорость v̅₁ (рис. 5). Тогда за промежуток времени скорость точки получает приращение .

Для построения вектора Δv̅ отложим от точки М вектор, равный v̅₁ и построим параллелограмм, в котором диагональю будет v̅₁, a одной из сторон v̅. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор Δv̅. Заметим, что вектор Δv̅ всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости Δv̅ к соответствующему промежутку времени Δt определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

(9)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δv̅, т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век-

векторная величина a̅, к которой стремится среднее ускорение a̅_ср при

стремлении промежутка времени Δt к нулю:

или, с учетом равенства (8),

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения L/T², т. е. длина/(времяJ; в качестве единицы измерения применяется обычно м/с².

Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки a̅ равен отношению элементарного приращения вектора скорости dv̅ к соответствующему промежутку времени dt.

Найдем, как располагается вектор a̅ по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор a̅ направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения a̅, так же как и вектор a̅_ср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости.

Если траектория не является плоской кривой, то вектор a̅_ср направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М₁ (рис. 5). В пределе, когда точка М₁ стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки (для пространственной кривой, например, для винтовой линии, в каждой точке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость; для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех ее точек). Следовательно, в общем случае вектор ускорения a̅ лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Вопрос об определении модуля ускорения будет рассмотрен в следующем разделе.