3.Экономико-математчиеские методы изучения взаимосвязей факторных и результативных показателей

Экономико-математические методы представлены в более общем виде тремя основными группами: экономические (матричные методы, теория производственной функции, теория межотраслевого баланса); методы экономической кибернетики и оптимального программирования (линейное программирование, динамическое программирование, нелинейное программирование); методы исследования операций и принятия решений (теория граф, теория игр, теория массового обслуживания).

Значение математических методов весьма существенно. Эти методы имеют широкое аналитические возможности по сравнению с традиционными и экономико-статистическими, так как обеспечивают более полный охват влияния факторов на результаты деятельности предприятия, повышают точность вычислений, позволяют решать многомерные и оптимизационные задачи, не выполняемые традиционными методами. Применение математических методов в экономическом анализе требует системного подхода к изучению экономики предприятия с целью учета возможных взаимосвязей, совершенствования системы экономической информации и ее накопления, а также наличия технических средств и программного обеспечения.

Математические методы представлены в более общем виде тремя основными группами: экономические (матричные методы, теория производственной функции, теория межотраслевого баланса); методы экономической кибернетики и оптимального программирования (линейное программирование, динамическое программирование, нелинейное программирование); методы исследования операций и принятия решений (теория граф, теория игр, теория массового обслуживания).

Математическое программирование – это математическая дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения. Особенно широко применяются математические методы при исследовании экономических проблем для выявления экономических зависимостей и закономерностей.

Математическое программирование включает такие разделы, как линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое, параметрическое планирование и др. Наиболее подробно изучается линейное программирование, где цель экономической задачи математически записывается в виде линейной функции, а ограничение в использовании производственных ресурсов – в виде линейных уравнений или неравенств.

Математическое выражение цели задачи и ограничений называют математической моделью экономической задачи. Чтобы составить математическую модель задачи, нужно:

- ввести обозначения (неизвестные величины обозначают х_j или х_ij ;

- исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

- составить систему ограничений, учитывая ограничения в использовании производственных ресурсов.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования записывается так: найти X = (а₁, а₂, ……. а_n), удовлетворяющий условиям (2) и (3) и доставляющий экстремум целевой функции (1) (максимум или минимум).

L (X) = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ……… + c_n x_n (1)

при ограничениях:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ……… + a_1n x_n

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ……… + a_2n x_n (2)

……………………………….

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ……… + a_mn x_n

где: x_j  0, j = 1, 2, ……, n (3)

Ее можно записать более кратко:

при ограничениях:

x_j  0, j = 1, 2, ……, n

В матричном виде математическая модель записывается так:

п ри ограничениях:

А*Х = В, x_j  0, j = 1, 2, ……, n

где: С = (с₁ , с₂ , ……….., с_n );

х₁ b₁

х₂ b₂

. .

Х = . В = .

. .

х_n b_m

а₁₁ а₁₂ …… а_1n

А = а₂₁ а₂₂ ….… а_2n

…………………

а_m1 а_m2 ……. а_mn

Если хотя бы одно ограничение математически выражается неравенством, то говорят, что задача имеет неканоническую модель. Модель каноническая, если система ограничений содержит одни уравнения и все переменные неотрицательны. Выше записана каноническая модель. Неканоническая модель задачи записывается так:

L (X) = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ……… + c_n x_n max (min)

при ограничениях:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ……… + a_1n x_n  b₁ (или  b₁)

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ……… + a_2n x_n  b₂ (или  b₂)

……………………………….

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ……… + a_mn x_n  b_m (или  b_m)

x_j  0, j = 1, 2, ……, n

Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Различают парную и множественную корреляцию.

Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой результативным. Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Для изучения стохастических соотношений используются следующие способы экономического анализа: сравнение параллельных и динамических рядов, аналитические группировки, графики. Однако они позволяют выявить только общий характер и направление связи. Для определения степени влияния каждого фактора на уровень результативного показателя применяются способы корреляционного, дисперсионного, компонентного, современного многомерного факторного анализа и т. д.

Наиболее широкое применение в экономических исследованиях нашли приемы корреляционного и регрессионного анализа, которые позволяют количественно выразить взаимосвязь между показателями.

Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связей, типа модели, определения расчетных значений зависимой переменной (результирующего признака).

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

1. Определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), т. е. выяснить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу.

2. Установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Необходимые условия применения корреляционного анализа:

1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).

2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

При использовании способов парной корреляции связь между корреляционным фактором и результативным показателем характеризуется прежде всего коэффициентом корреляции, который может изменяться от нуля до единицы. Чем ближе он к единице, тем более тесная связь между анализируемыми показателями. Коэффициент корреляции с плюсом указывает на прямую связь, с минусом – на обратную:

где р – число наблюдений; у – результативный показатель; x – факторный показатель.

Далее корреляционый анализ дополняется регрессионным анализом. Зависимость исследуемого показателя от одного фактора в простейшем виде можно представить формулой у = а + bx. Для определения параметров (а и b) этого уравнения используется метод наименьших квадратов, решается такая система уравнений:

Размер влияния фактора на результат оценивается по параметру b (коэффициент регрессии), что показывает, на сколько единиц изменяется хозяйственный результат при изменении размера фактора на единицу.

При измерении тесноты связи при криволинейной зависимости используется универсальное корреляционное отношение:

Множественный корреляционный анализ более сложен, он состоит из нескольких этапов:

1. Определение наиболее существенных факторов.

2. Сбор и оценка исходной информации.

3. Изучение характера и моделирование связи между факторами и результативным показателем (подбор математического уравнения, наиболее точно выражающего сущность связи).

4. Расчет показателей связи.

5. Статистическая оценка результатов корреляционного анализа.

Исходным пунктом любого из методов является признание факта некоторой преемственности (или определенной устойчивости) изменений показателей финансово-хозяйственной деятельности от одного отчетного периода к другому. По набору прогнозируемых показателей методы прогнозирования можно разделить на:

1. Методы, в которых прогнозируется один или несколько отдельных показателей, представляющих наибольший интерес и значимость для аналитика, например, выручка от продаж, прибыль, себестоимость продукции и т. д.

2. Методы, в которых строятся прогнозные формы отчетности целиком в типовой или укрупненной номенклатуре статей. На основании анализа данных прошлых периодов прогнозируется каждая статья (укрупненная статья) баланса и отчета и финансовых результатах. Огромное преимущество методов этой группы состоит в том, что полученная отчетность позволяет всесторонне проанализировать финансовое состояние предприятия. Аналитик получает максимум информации, которую он может использовать для различных целей, например, для определения допустимых темпов наращивания производственной деятельности, для исчисления необходимого объема дополнительных финансовых ресурсов из внешних источников, расчета любых финансовых коэффициентов и т. д.

Методы прогнозирования отчетности, в свою очередь, делятся на методы, в которых каждая статья прогнозируется отдельно исходя из ее индивидуальной динамики, и методы, учитывающие существующую взаимосвязь между отдельными статьями как в пределах одной формы отчетности, так и из разных форм. Действительно, различные строки отчетности должны изменяться в динамике согласованно, так как они характеризуют одну и ту же экономическую систему.

В зависимости от вида используемой модели все методы прогнозирования можно подразделить на три большие группы:

1. Методы экспертных оценок, которые предусматривают многоступенчатый опрос экспертов по специальным схемам и обработку полученных результатов с помощью инструментария экономической статистики. Это наиболее простые и достаточно популярные методы, история которых насчитывает не одно тысячелетие. Применение этих методов на практике, обычно, заключается в использовании опыта и знаний торговых, финансовых, производственных руководителей предприятия. Как правило, это обеспечивает принятие решения наиболее простым и быстрым образом. Недостатком является снижение или полное отсутствие персональной ответственности за сделанный прогноз. Экспертные оценки применяются не только для прогнозирования значений показателей, но и в аналитической работе, например, для разработки весовых коэффициентов, пороговых значений контролируемых показателей и т. п.

2. Стохастические методы, предполагающие вероятностный характер как прогноза, так и самой связи между исследуемыми показателями. Вероятность получения точного прогноза растет с ростом числа эмпирических данных. Эти методы занимают ведущее место с позиции формализованного прогнозирования и существенно варьируют по сложности используемых алгоритмов. Наиболее простой пример - исследование тенденций изменения объема продаж с помощью анализа темпов роста показателей реализации. Результаты прогнозирования, полученные методами статистики, подвержены влиянию случайных колебаний данных, что может иногда приводить к серьезным просчетам.

Стохастические методы можно разделить на три типовые группы, которые будут названы ниже. Выбор для прогнозирования метода той или иной группы зависит от множества факторов, в том числе и от имеющихся в наличии исходных данных.

Первая ситуация - наличие временного ряда - встречается на практике наиболее часто: финансовый менеджер или аналитик имеет в своем распоряжении данные о динамике показателя, на основании которых требуется построить приемлемый прогноз. Иными словами, речь идет о выделении тренда. Это можно сделать различными способами, основными из которых являются простой динамический анализ и анализ с помощью авторегрессионых зависимостей.

Вторая ситуация - наличие пространственной совокупности - имеет место в том случае, если по некоторым причинам статистические данные о показателе отсутствуют либо есть основание полагать, что его значение определяется влиянием некоторых факторов. В этом случае может применяться многофакторный регрессионный анализ, представляющий собой распространение простого динамического анализа на многомерный случай.

Третья ситуация - наличие пространственно-временной совокупности - имеет место в том случае, когда: а) ряды динамики недостаточны по своей длине для построения статистически значимых прогнозов; б) аналитик имеет намерение учесть в прогнозе влияние факторов, различающиеся по экономической природе и их динамике. Исходными данными служат матрицы показателей, каждая из которых представляет собой значения тех же самых показателей за различные периоды или на разные последовательные даты.

3. Детерминированные методы, предполагающие наличие функциональных или жестко детерминированных связей, когда каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака. В качестве примера можно привести зависимости, реализованные в рамках известной модели факторного анализа фирмы Дюпон. Используя эту модель и подставляя в нее прогнозные значения различных факторов, например выручки от реализации, оборачиваемости активов, степени финансовой зависимости и других, можно рассчитать прогнозное значение одного из основных показателей эффективности - коэффициента рентабельности собственного капитала.

Другим весьма наглядным примером служит форма отчета о прибылях и убытках, представляющая собой табличную реализацию жестко детерминированной факторной модели, связывающей результативный признак (прибыль) с факторами (доход от реализации, уровень затрат, уровень налоговых ставок и др.).

Нельзя не упомянуть об еще одной группе методов, основанных на построении динамических имитационных моделей предприятия. В такие модели включаются данные о планируемых закупках материалов и комплектующих, объемах производства и сбыта, структуре издержек, инвестиционной активности предприятия, налоговом окружении и т.д. Обработка этой информации в рамках единой финансовой модели позволяет оценить прогнозное финансовое состояние компании с очень высокой степенью точности. Реально такого рода модели можно строить только с использованием персональных компьютеров, позволяющих быстро производить огромный объем необходимых вычислений.

Волатильность – активность или изменчивость рынка. Чем выше этот показатель, тем более активная ситуация наблюдается на рынке. Соответственно, это позволяет заработать больше денег в короткий период времени.

Волатильность бывает: минутной, часовой, дневной, недельной, месячной и годовой – в зависимости от того, какой период нам нужно исследовать. Понятно, что минутная волатильность – изменчивость ценового уровня на графике актива за 1 минуту. Годовая же волатильность – то же самое, но за год, а не за минуту. Также волатильность разделяют на подразумеваемую и историческую. Подразумеваемая волатильность относится к разряду прогнозных инструментов, так как особое внимание нужно сфокусировать на будущих показателях изменчивости рынка. Однако недостоверная информация о будущей волатильности делает анализ этого показателя менее эффективным. Особое внимание в таком анализе волатильности обрели Полосы Боллинджера – стандартный индикатор любой торговой платформы, построенный на взаимодействии разных средних линий. Историческая волатильность более точна, так как в качестве основных данных используются исторические показатели, а не прогнозные решения. Однако взгляд на прошлую информацию позволяет с точностью и высокой достоверностью узнать об изменчивости рынка за прошлый месяц, год или квартал, но нужно еще правильно интерпретировать эти данные для будущих инвестиций.

Применение ЭММ в решении аналитических задач осуществляются в следующих формах:

1) Графические методы связаны с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также графики, на которых можно изображать корреляционные связи между показателями (диаграммы сравнения, кривые распределения, диаграммы временных рядов, статистические картограммы).

Пример: построение сетевого графика при строительстве и монтаже предприятий. Составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности указываются их характеристика, объем, исполнитель, сменность, потребность в материалах, продолжительность выполнения задания и другая информация. Исходя из данных показателей подготавливают сетевой график. Оптимизация графика осуществляется посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ.

2) Метод корреляционно-регрессивного анализа используют для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости. Теснота связи измеряется корреляционным отношением (для криволинейной зависимости). Для прямолинейной зависимости исчисляется коэффициент корреляции. Метод применяют при решении задач на «запуск-выпуск».

Пример: определить зависимость выпуска изделий в среднем от их запуска, составив соответствующее уравнение регрессии.

3) Метод линейного программирования. Решение сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин. Основано на решении системы линейных уравнений, когда зависимость между явлениями строго функциональна.

Пример: задачи рациональности использования времени работы производственного оборудования.

4) Методы динамического программирования применяют при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и ограничения характеризуются нелинейными зависимостями.

Пример: заполнить транспортное средство грузоподъемностью Х грузом, состоящим из определенных предметов так, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.

5) Математическая теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. Решение требует определенности в формулировке условий: установлении количества игроков, возможных выигрышей, определении стратегии.

Пример: максимизировать среднюю величину дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды.

6) Математическая теория массового обслуживания.

Пример: обеспечение рабочих необходимым инструментом.

7) Матричный метод основан на линейной и век-торно-матричной алгебре, применяется для изучения сложных и высокоразмерных структур на отраслевом уровне, на уровне предприятий.

Пример: выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие объемы выпускаемой продукции, если заданы параметры прямых затрат и конечного продукта.