6.2. Расчет сплошного прямоугольного сечения

колонн в случае малых эксцентриситетов.

Случай малых эксцентриситетов (рис. 6.2) характерен тем, что се­чение элемента или полностью сжато, или большая его часть сжата и незначительная - растянута. Разрушение элемента обязательно начинает­ся со стороны наиболее сжатой грани. К моменту исчерпания несущей способности напряжения в бетоне достигают R_в , в арматуре A′_s – R_sc , а в арматуре A_s могут быть либо сжимающими, либо растягивающими, но при этом σ_s < R_s . Случай малых эксцентриситетов имеет место при

ξ > ξ_R. Проверка прочности может быть осуществлена из условия

N ≤ bxR_b + A′_s R_sc - A_sσ_s ; (6.11)

При этим напряжения в арматуре A_s определяют по интерполяционной формуле

(1- ξ)

σ_s = [2 ∙ —————— - 1] ∙ R_s ; (6.12)

(1- ξ_R)

справедливой при R_s = R_sc и ξ > ξ_R

Высоту сжатой зоны следует определить из уравнения

A_sσ_se + A′_sR_sce′ - bxR_в(e - h₀ + x/2)=0; (6.13)

Рис. 6.2. Случай малых эксцентриситетов.

При подборе арматуры в случае малых эксцентриситетов следует вна­чале выяснить, требуется ли вообще постановка расчетной арматуры.

Для этого проверяют прочность чисто бетонного элемента

N ≤ b(h-2e₀η) R_в ; (6.14)

При удовлетворении неравенства напряжения в сечении бетонного элемента не превосходят R_в , и арматура может быть поставлена исходя из конструктивного минимума (A_{s min} и A′_{s min}). Если же условие (6.14) не выполняется, то следует проверить прочность железобетонного сечения с

A_{s min} и A′_{s min} в соответствии с зависимостями (6.14), (6.12), (6.13).

При этом рекомендуется следующий порядок вычислений: выражение для σ_s (6.12), содержащее неизвестную величину ξ , подставить в (6.13), откуда решением квадратного уравнения определить ξ (при этом должно быть ξ>ξ_R)

и прочность элемента проверить по условию (6.11).

Если прочность не обеспечена, следует усилить армирование (в пер­вую очередь увеличить A′_s) и вторично произвести проверку прочности.

После определения необходимой площади арматуры во всех расчетных сечениях колонны, пользуясь сортаментом, подбирают стержни продольной арматуры по внешней и внутренней (по отношению к сооружению) сторонам колонны.

Пример расчета 2. (Случай малых эксцентриситетов).

Дано:

Размеры сечения колонны b = 50 см; h = 60 см; а = а′ = 30 мм

Бетон В20 (R_в = 11,5 МПа = 1150 н/см² ; E_в = 2,7∙10⁴ МПа =

= 2.7∙10⁶ н/см2)

Арматура класса А- III (R_s = R_sc = 365 МПа = 36500 н/см²);

E_s = 2∙10⁵ МПа = 2∙10⁷ н/см²; n = Е_s/Е_в = 7,4

Имеем две комбинации усилий в сечении 2-2 (см. табл. 5.2)

Таблица 6.3.

расчетная длина надкрановой части колонны

l₀ = ψH₂ = 2,0 ∙ 3,75 = 7,5м

так как M_max и M_min имеют положительное значение, то условием (6.1*) пользоваться нет необходимости.

Расчет начинаем с первой комбинации усилий.

Эксцентриситет e₀

M_l 93,6

e₀ = ——— = ——— = 0,14м = 14см;

N_l 664,2

гибкость элемента λ = l₀/i = 750/17,3 = 43,3 > 14, учитываем влияние изгиба колонны.

Определяем условную критическую силу

6,4E_в J 0,11

N_cr = ————— ∙ [ ——— ∙ (—————— + 0,1)+nJ_s] =

l²₀ φ_ℓ 0,1 +δ/ φ_sp

6,4∙2,7∙10⁶ 9∙10⁵ 0,11

= ————— ∙ [——— ∙ (—————— + 0,1)+7,4∙ 8310] =

750² 1,79 0,1 +0,25/1

=8,3∙10⁶ н = 8300кн

где = bh³/12 = 50∙60³ /12 = 9∙10⁵ см⁴

Изгибающий момент основных усилий относительно растянутой арматуры

M₁ = N(e₀+h/2-a) = 664,2∙10³∙ (14+60/2-3) = 27230∙10³ см∙н

то же для длительных нагрузок

M_1ℓ = N_ℓ (e_0,ℓ + h/2-a) = 513,4∙10³∙ (15+60/2-3) = 21560∙10³ см×н

M_ℓ 75,3

где e_0,ℓ = ——— = ——— = 0,15 = 15см;

N_ℓ 513,4

Коэффициент, учитывающий влияние длительно действующей нагрузки

M_I,ℓ 21560∙10³ φ_ℓ = 1+β ——— = 1 + 1————— = 1,79

М₁ 27230∙10³

e₀ 14

δ = —— = —— = 0,23

h 60

δ_min = 0,5∙0,01∙ (l₀/h) – 0,01R_вγ_в2 = 0,5 – 0,01∙ (750/60)–0,01∙11,5∙1,1=0,25

Принимаем δ = δ_min = 0,25

В первом приближении согласно таблицы 6.1 принимаем μ = 0,004.

Момент инерции арматуры A_s и A′_s относительно центра сечения

J_s = μbh₀(0,5h-a)² = 0,04∙50∙57∙ (0,5∙60-3)² = 8310см⁴

φ_sp=1 – конструкция не имеет предварительного напряжения.

Коэффициент, учитывающий влияние гибкости колонны

1 1

η = —————— = —————— = 1,09

1 – N/N_cr 1-664,2/8310

e₀η = 14∙1,09 = 15,3см < 0,3h₀ = 0,3∙57 = 17,1 см, имеем случай малых эксцентриситетов.

Проверяем прочность бетонного элемента (без арматуры) из условия (6.14)

N ≤ b(h-2e₀η)R_в

664200 < 50∙ (60-2∙14∙1,09) ∙1150 = 1695100н.

следовательно, армирование A_{s =} A′_{s =} A_smin принимается конструктивно, в данном случае по 3ø16А-III к A_{s =} A′_{s =} 6,03см².

На этом расчет заканчивается.

Пример расчета 3.

Предположим, имеем данные как в примере 2, а величины моментов и продольных усилий увеличены пропорционально до сохранения величины эксцентриситета е₀ = 14см. Причем примем силу N = 2000000н > 1695000н, т.е. условие (6.14) не выполняется. Пользуясь формулой (6.12), выражаем напряжение в арматуре σ_s через ξ и подставляем в (6.13).

(1- ξ) 1- ξ

σ_s = (2 ∙ —————— - 1] ∙ 36500 = (2∙ —————— - 1) ∙ 36500 =

(1- ξ_R) 1- 0,55

= 125700 – 162220∙ξ н/см²

e = e₀η + h/2 – a = 14∙1,09+60/2-3 = 42,3см

e′ = h/2 – e₀η – a′ = 60/2 - 14∙1,09-3 = 11,7см

В первом приближении задаемся, исходя из конструктивных требований, арматурой A_s = A′_s = A_smin=6,03см², т.е. 3ø16А-III.

Выражение (6.13) принимает вид

A_sσ_se + A′_s R_sce′ - bxR_в(e-h₀+x/2) = 0

6,03∙ (125700 - 162220∙ξ) ∙42,3+6,03∙36500∙11,7-50∙ξ∙57∙1150 ∙ x ∙

∙ (42,3-57+ ξ∙57/2)=0

где x= ξ∙h₀

ξ² – 0,073 ξ – 0/371 = 0

ξ₁ = 0,65; ξ₂ = -0,57

По смыслу задачи ξ должно быть положительным. Высота сжатой зоны

x = ξh₀ = 0,65∙57=37,1см

σ_s= 125700 – 162220 ∙ ξ = 125700 – 162220 ∙ 0,65 = 20260 н/см² (растяжение).

Проверку прочности проводим по условию (6.11)

N ≤ bxR_в + A′_sR_sc – A_s∙σ_s

N = 2000000н < 50∙37,1∙1150+6,03∙36500-6,03∙20260 = 2231000н.

Условие выполняется, следовательно принятого армирования рабочей продольной арматурой А_s = A′_s = 6,03 см² достаточно для обеспечения прочности сечения. Окончательно можно поставить по 3ø16А-III с каждой

стороны рабочего сечения в плоскости рамы.

В случае расчета сечений при малых эксцентриситетах на знакопеременный момент, должен быть проведен расчет на вторую комбинацию уси­лий с учетом уже имеющейся рабочей арматуры, полученной из расчета по первой комбинации (аналогично рассмотренному примеру расчета N 1 в параграфе 6.1).

При определении расчетных комбинаций усилий может иметь место случай, когда изгибающие моменты М (или эксцентриситеты) от полной нагрузки и от суммы постоянных длительных нагрузок (М_l) имеют разные знаки, в этих случаях при абсолютном значении эксцентриси­тета полной нагрузки е₀, превышающем 0,1h, следует принимать φ_ℓ =1,0; если это условие не удовлетворяется, значение φ_ℓ принимают равным

φ_ℓ= φ_ℓ1+10(1- φ_ℓ1) e/h , где φ_l1 определяют по формуле φ_ℓ1=1+β×M_ℓ/M, принимая М равным произведению продольной силы N от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок на расстояние от центра тяжести до растянутой или наименее сжатой от действия постоянных и длительных нагрузок грани сечения /3/ п.3.6 и п. 3.24.