6.1. Расчет сплошного прямоугольного cечения колонн

в случае больших эксцентриситетов.

При подборе арматуры в соответствии с первым расчетным случаем вначале проверяем необходимость постановки расчетной сжатой арматуры, задаваясь значением ξ = 0,55

Ne-0,4bh²₀R_в

A_s′ = —————————; (6.6)

R_sc(h₀-a′)

Если при этом A_s′> A_s′_min = μ_minbh₀ , то площадь сечения растянутой арматуры определяется из уравнения (6.2) при х = 0,55h₀

0,55h₀bR_в-N+ A_s′R_sc

A_s = ————————————; (6.7)

R_s

Значение минимального коэффициента армирования для арматур A_s и A_s′ принимают по таблице 6.1 в зависимости от гибкости элемента, при этом следует иметь в виду, что принимаемые A_smin и A_s′_min не должны быть менее площади 2ø16мм.

Таблица 6.1.

Так как в большинстве случаев по формуле (6.6) получается A_s′ < A_s′_min и для определения арматуры A_s необходимо найти значение ξ , соответствующее принятой сжатой арматуре. Для этого вычисляют

Ne- A_s′_min R_sc(h₀-a′)

A_v = ————————————; (6.8)

bh²₀R_в

По таблицам находят соответствующие значения ξ

где ξ = x/h₀ ; A₀ = ξ(1- ξ/2)

Сечение арматуры A_s определяют, используя формулу (6.7), заменяя коэффициент 0,55 на ξ.

ξ h₀bR_в-N + A_s′R_sc

A_s = ————————————; (6.7)’

R_s

Если определенное по A_s значение ξ таково, что х = ξh₀<2×a′ , то использование уравнения (6.2) и формулы (6.7) неправомочно. В этом случае количество арматуры A_s определяют из уравнения моментов относительно сжатой арматуры (пренебрегая работой сжатого бетона)

N∙e′

A_s = —————; (6.9)

R_s (h₀-a′)

В любом случае принимаемое значение A_s не должно быть менее A_s′_min.

Далее переходят к расчету армирования при второй комбинации усилий. Если при вычислении сжатой арматуры по формуле (6.6) получают A_s′_II менее значения A_sI из расчета по первой комбинации, то принимают

A_s′_II = A_sI (индексы I и II соответствуют рассматриваемым комбинациям). После этого по формуле (6.8) определяют A₀ , соответствующее значение ξ и по формуле (6.7) или (6.9) находят площадь арматуры A_sII.

Окончательно с каждой стороны сечения должно быть поставлено наибольшее количество арматуры, полученное расчетом по обеим комбинациям усилий.

Если при расчете внецентренно нагруженных колонн в случае больших эксцентриситетов получаем А_s< 0, то в действительности имеет место случай малых эксцентриситетов.

Пример расчета 1. (Случай больших эксцентриситетов).

Дано:

Размеры сечения колонны b = 50 см; h = 60 см; а = а′ = 30 мм

Бетон В20 (R_в = 11,5 МПа = 1150 н/см² ; E_в = 2,7∙10⁴ МПа =

= 2.7∙10⁶ н/см2)

Арматура класса А- III (R_s = R_sc = 365 МПа = 36500 н/см²);

E_s = 2∙10⁵ МПа = 2∙10⁷ н/см²; n = Е_s/Е_в = 7,4

Имеем две комбинации усилий, которые могли бы получиться при составлении таблиц 5.1 и 5.2.

Таблица 6.2.

Расчетная длина надкрановой части колонны при разрезных подкрано­вых балках в плоскости поперечной рамы при учете крановой нагрузки

l₀ = ψ-Н₂, = 2∙3,75 = 7,5 м

Предварительно вычисляем величины, пользуясь условием (6.1*).

|M_I| - 0,3h₀|N_I| = 160 - 0.3∙0,57∙300 = 108.7 кн∙м

|M_II| - 0,3h₀|N_II| = 180 - 0,3∙0,57∙550 = 86 кн∙м

Начинаем расчет с первой комбинации усилий.

Эксцентриситет

M_I 160

e₀ = —— = —— = 0,533м = 53см

N_I 300

Определяем условную критическую силу

6,4E_в J 0,11

N_cr = ———— = [—— (—————— + 0,1)+nJ_s]; (6.10)

l²₀ φ_l 0,1 +δ/φ_sp

Радиус инерции сечения

i = √( h²/12) = √( 60²/12) = 17,3 см

Гибкость элемента

l₀ 750 λ = ——— = ———— = 43,3 > 14, необходимо учесть влияние прогиба

i 17,3 элемента на его прочность.

Момент инерции сечения

bh³ 50∙60³ J = ——— = ———— = 9∙10⁵ см⁴

12 12

Изгибающий момент основных усилий относительно растянутой зоны

M₁ = N(e₀ + h/2 - a) = 300∙10³∙ (53 + 60/2 - 3) = 24000∙10³ н∙см

то же для длительных нагрузок

M_1ℓ = N_lℓ(e_0ℓ + h/2 - a) = 200∙10³∙ (38 + 60/2 - 3) = 13000∙10³ н∙см

M_Iℓ 76

где e_0ℓ = —— = —— = 0,38м = 38см

N_Iℓ 200

Коэффициент, учитывающий влияние длительно действующей нагрузки

M_Iℓ 13000∙10³ φ_l = 1+β ——— = 1 + 1————— = 1,54

М 24000∙10³

e₀ 53

δ = —— = —— = 0,88;

h 60

l₀

δ_min = 0,5 – 0,01 (——) – 0,01R_вγ_в2<0,88; принимаем δ=0,88

h

В первом приближении согласно таблицы 6.1 принимаем μ=0,004

J_s = μbh₀(0,5h - a)² = 0,004∙50∙57∙ (0,5∙60-3)² = 8310см⁴

φ_sp = 1, т.к. конструкция не имеет предварительного напряжения

Согласно формуле (6.10) определяем

6,4∙2,7∙10⁶ 9∙10⁵ 0,11

N_cr = ————— ∙ [——— ∙ (—————— + 0,1)+7,4∙8310]= (6.10)

750² 1,54 0,1 +0,88/1

= 5,7∙10⁶ н = 5700кн

1 1

η = ———— = —————— = 1,06

1-N/N_cr 1 – 300/5700

e₀η = 53∙1,06 = 52,2см > 0,3h₀ = 0,3∙57= 17,1 см, имеем случай больших эксцентриситетов.

Проверяем необходимость постановки расчетной арматуры A_s′.

Определим расстояние от силы до растянутой арматуры

e = e₀η+h/2-a = 56,2 + 60/2 – 3 = 83,2 см

Ne – 0,4bh₀²R_в 300000∙83,2 – 0,4∙50∙57²∙1150

A_sI′ = —————————— = —————————————— < 0

R_sc(h₀-a) 36500∙ (57-3)

Так как l₀/i = 43,3 то по табл. 6.1 μ_min= 0,002

A′_{s min} = 0,002bh₀ = 0,002∙50∙57 = 5,7см²

Принимаем по конструктивным соображениям фактическое армирование 3ø16А-III c A′_{s min} = 6,03 см² (в I комбинации)

Вычисляем по формуле (6.8)

Ne – A′_{s min}R_sc(h₀ – a′) 300000∙83,2 – 6,03∙36500∙ (57-3)

A₀ = ———————————— = ——————————————— =

bh₀²R_в 50∙57²∙1150

= 0,07 → ξ = 0,073

Так как высота сжатой зоны

x = ξ×h₀ = 0,073×57 = 4,2см < 2а′ = 6см, то A_s определяем по формуле (6.9)

N∙e′ 300000∙29,2

A_sI = —————— = —————— = 4,44см²

R_s(h₀-a′) 36500∙ (57-3)

где e′ = |ηe-h/2 + a| = 56,2 – 60/2 + 3 = 29,2 см (см. рис. 6.1)

По конструктивным соображениям должно быть принято 3ø16А-III

с A_sI = 6,03см²

Переходим ко второму сочетанию: (II комбинация) см. таблицу 6.2

M_II = M_min = -180 кн∙м; N_II = -550кн

M_II

e_0II = ——— = 0,33м = 33см

N_II

M₁ = 550∙10³ ∙ (33 + 60/2 - 3) = 33000∙10³ н∙см

M_{II, ℓ} 92

e_0,ℓ = ——— = ——— = 0,29м = 29см

N_{II, ℓ} 320

M_{1, ℓ} = 320∙10³ ∙ (29 + 60/2 - 3) = 17920∙10³ н∙см

17920∙10³ φ_l = 1+1 ————— = 1,54

33000∙10³

e_0II 33

δ = —— = —— = 0,55 > δ_min

h 60

6,4∙2,7∙10⁶ 9×10⁵ 0,11

N_cr = ————— ∙ [——— ∙ (—————— + 0,1)+7,4∙8310] =

750² 1,54 0,1 +0,55/1

=6,7∙10⁶ н = 6700кн

1

η = —————— = 1,10

1 – 550/6700

e_0II η = 33∙1,1см > 0,3h₀ = 17,1см

имеем дело со случаем больших эксцентриситетов.

Проверяем необходимость постановки расчетной арматуры A′_sII

e = 36,3 + 60/2 – 3 = 63,3см

550000∙63,3 – 0,4∙50∙57²∙1150

A′_sII = ——————————————— < 0

36500∙ (57-3)

однако из расчета по I комбинации получено

A′_sII = A_sI = 6,03см² в зоне сжатой при действии M_II = -180 кн∙м

(или растянутой при М_I = 160 кн∙м)

Поэтому, пользуясь формулой (6.8)

550000∙63,3 – 6,03∙36500∙ (57-3)

A₀ = ——————————————— = 0,123 → ξ = 0,133

50∙57² ∙1150

x= ξh₀ = 0,133∙57 = 7,6 см > 2∙a′ = 6см, по формуле (6,7)′

0,133∙57∙50∙1150-550000+6,03∙36500

A_sII = —————————————————— = 2,9 см²

36500

По конструктивным соображениям следует принять 3ø16А-III с

А_sII = 6,03см² , что равно по площади A′_sI = 6,03см².

Учитывая полученное армирование при расчете по двум комбинациям, окончательно принимаем фактическое армирование с каждой стороны сечения колонны 3ø16А-III (A_s = A′_s = 6,03см²) (рис. 6.1).