Глава 5. Элементы дискретной математики

5.1 МНОЖЕСТВА

5.1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество – это любая определённая совокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Если объект является элементом множества , то говорят, что принадлежит и обозначают ; в противном случае говорят, что не принадлежит и обозначают .

Пример:

• множество натуральных чисел ;

• множество целых чисел ;

• множество рациональных чисел ;

• множество действительных чисел .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Основными способами задания множеств являются

• перечисление элементов;

• характеристический предикат;

• порождающая процедура.

Заметим, что перечислением элементов можно задавать только конечные множества, с помощью характеристического предиката и порождающей процедуры можно задавать как конечные так и бесконечные множества. В качестве примера рассмотрим задание множество ненулевых цифр различными способами:

перечисление элементов ;

характеристический предикат: ;

порождающая процедура: а) ;

б) если и , то .

Множество называется подмножеством множества (обозначается ), если каждый элемент множества является также элементом множества . Если одновременно выполняются включения и , то множества и называются равными.

Пусть – конечное множество. Число элементов множества называется мощностью множества и обозначается .

Множество всех подмножеств множества называется булеаном.

Теорема. Мощность булеана конечного множества равно .

Доказательство данной теоремы будет проведено позднее.

Декартово произведение множеств и – это множество всех упорядоченных пар элементов, первый из которых принадлежит множеству , а второй – множеству :

.

5.1.2 Операции над множествами

Пусть и – множества. Тогда над этими множествами можно определить определённые операции.

Объединением множеств и называется множество, обозначаемое , содержащее все элементы, которые принадлежат или множеству , или множеству , или обоим множествам одновременно.

Например, объединением множеств и будет .

Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое , содержащее все элементы, которые принадлежат обоим множествам и одновременно.

Так, пересечением множеств и будет .

Разностью множеств

Разностью множеств и будет . Заметим, что в общем случае . В данном примере .

Симметрической разностью и называется множество, обозначаемое , содержащее все элементы, только одному из множеств или .

Симметрической разностью множеств и будет .

Легко заметить (и доказать), что выполняются соотношения .

Дополнением множества называется множество , которое содержит все элементы, не принадлежащие . В этом случае, заранее должно быть определено некоторое универсальное множество , содержащее все возможные элементы.

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Венна (называемые также кругами Эйлера), в которых исходные множества изображаются фигурами, а результат операции каким-либо образом выделяется.

Рис.5.1

Операции над множествами обладают следующими важными свойствами:

• свойства идентичности: ;

• свойства доминирования: ;

• свойства идемпотентности: ;

• свойства дополнения: ;

• свойства коммутативности: ;

• свойства ассоциативности:

;

• свойства дистрибутивности:

;

• законы де Моргана: .

Так как операции объединения и пересечения обладают свойствами ассоциативности, то можно ввести операции объединения и пересечения нескольких множеств. Так, объединением множеств называется множество , содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств. Аналогично, пересечением множеств называется множество , содержащее все элементы, принадлежащие всем множествам.