20. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.

В геометрии вектором называется всякий направленный отрезок. Вектор- называется всякая величина, обладающая направлением. Вектор, началом которого служит точка А, а концом точка- В, обозначается АВ.

Длина вектора, также называется модулем. Модуль это скалярная величина, обозначается двумя вертикальными чертами.

Нуль-вектор- это вектор длина которого равна 0.

Равенство векторов- два(ненулевых)вектора а и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны. Вектор можно переносить параллельно самому себе , а начало вектора помещать в любую точку О пространства. Равные векторы так же называют свободными.

Коллинеарные – векторы а иb называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают, а||b. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Компланарные- три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов, хотя бы один нулевой или два любые коллинеарные, то такие векторы компланарны.

Орт вектор- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ē. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается а°.

21. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора. Радиуса-вектор.

Под линейными операциями понимают операции сложения и вычитания векторов, а так же умножение вектора на число.

Пусть а и b- два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. от точки А отложим вектор АВ=b. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго , называется суммой векторов а и b: ОВ= а+b. Это правило сложения двух векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов так же можно построить по правилу параллелограмма (если они не коллинеарные). Из любого начала О строим векторы ОА=а и ОВ=b, на отрезках ОА и ОВ строим параллелограмм ОАСВ. Вектор диагонали ОС и есть сумма векторов а и b(так как АС=ОВ=b и ОС=ОА+АС). К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Разность векторов- вычесть вектор а1(вычитаемое) из вектора а2(уменьшаемым) значит найти новый вектор х(разность), который в сумме с вектором а1 дает вектор а2. Из произвольного начала О строим векторы ОА1=а1 и ОА2=а2. Вектор А1А2(проведенный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого)есть разность а2-а1: А1А2= ОА2-ОА1

Произведение вектора а на скаляр(число)- называется лямбда*а, который имеет длину |лямбда|*|а|, коллинеарное вектору а, имеет направление вектора а, если лямбда >0 и противоположенное направление, если лямбда <0

Законы: если b= лямбда*а, то b||а. 2) всегда а=|а|* а°, т.е каждый вектор равен произведению его модуля на орт вектор. Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

а+b= b+а

(а+b)+с= а+(b+с)

Лямбда1*(лямбда2*а)= лямбда1*лямбда2*а

(лямбда1+лямбда2)*а= лямбда1*а+лямбда2*а

Лямбда*(а+b)= лямбда*а+ лямбда*b

Взаимная связь коллинеарных векторов(деление вектора на вектор). Если вектор а- не нулевой, то всякий вектор b.коллинеарный с ним, можно представить в виде ха, где х- число, получаемое так: оно имеет абсолютное значение |b|:|а|(отношение модулей), оно положительно, если вектор b равно направлен с вектором а и оно отрицательно если b и а противоположно направлены, и равно нулю, если b-нуль-вектор.

Разложение произвольного вектора по ортам координат­ных осей на плоскости и в пространстве.

Радиус-вектор-вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

2 2. Разложение вектора по ортам координатных осей. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy,Oz единичные векторы(орты), обозначаются i , j, k.

Выберем произвольный вектор а и совместим его с началом координат: а= ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М1 , М2 и Мз. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда прха=|OM 1|, пpya = |ОМ2|, прzа=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ 1 + M1N + NM.

А так как M 1N=OM 2 , NM =ОМз, то

а=ОМ 1 + ОМ 2+ ОМ3                                             (5.1)

 

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через ах, ау и az, т.е. |OM1| = ах,|ОМ2| = ау, |ОМ3| = аz. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=axi+ayj+azk            (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (ax ;ay ;az).

Равенство b = (bx ;by ; bz ) означает, что b = bх•i+b у •j + bz • k