17. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.

Параболой называется  геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

                       Свойства параболы:

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

18. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

|MF1-MF2|=2a или MF1-MF1=±2a, получим каноническое уравнение гиперболы:

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

где a и b — полуоси

              Свойства гиперболы:

1)        Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2)        Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

                                     и    .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

                    ,                                                                      (11.3`) 

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5)   Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

19. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка.

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

где коэффициенты A,B,C одновременно не равны нулю.  Линии, определяемые такими уравнениями, называются кривыми второго порядка.  Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами.  Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.  Координаты центраS(x₀ ; y₀) линии определяются из системы:

Обозначим через  .  При Δ≠0 кривая второго порядка будет центральной.  Причем, при Δ>0 уравнение является уравнением эллиптического типа. Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (точка), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа).  При Δ<0 уравнение является уравнением гиперболического типа. Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную (пару пересекающихся прямых).  При Δ=0 линия второго порядка не является центральной. Такие уравнения называются уравнениями параболического типа и определяют на плоскости либо обыкновенную параболу, либо пару параллельных (или совпадающих) прямых, либо не определяют на плоскости никакого геометрического образа  Классификация кривых второго порядка:

Эллипс

Окружность

Гипербола

Парабола

Оптические свойства кривых второго порядка:

Для эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.

Для гиперболы: продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.

Для параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных ее фокальной оси.