7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка

Напомним, что многочленом степени   одной переменной   называется выражение вида

где   — действительные числа (коэффициенты многочлена),   — старший коэффициент,   — свободный член. Степень многочлена обозначается  .

Многочленом двух переменных   называется выражение вида

где   — действительные числа (коэффициенты многочлена),   и   — целые неотрицательные числа. Число

называется степенью многочлена двух переменных.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат   может быть задано уравнением вида

(3.4)

где   — многочлен двух переменных   и  .

Уравнение вида (3.4) называется алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. Степенью уравнения (3.4) называется степень многочлена  . Одна и та же линия может быть задана уравнением вида (3.4) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической линии называется наименьшая из степеней этих многочленов.

Всякую неалгебраическую линию называют трансцендентной.

Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат   уравнение имеет вид (3.4): Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат  . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где   — координаты вектора переноса начала координат  , а   — элементы матрицы перехода  базиса   к новому . Подставим эти выражения в одночлен  :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных  , степень которого не больше, чем  . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен  , степень которого не превосходит степени исходного многочлена  . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

В аналитической геометрии на плоскости изучаются:

– алгебраические линии первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с двумя неизвестными:

– алгебраические линии второго порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с двумя неизвестными:

7. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

Общее уравнение прямой.

Ах+Ву+С=0

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

Кроме того, для точки М1 можно записать:

Решая совместно эти уравнения, получим:

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки на плоскости: