35.Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица   называется обратной к невырожденной матрице   , если  , где   - это единичная матрица соответствующего порядка.

Свойства обратной матрицы:

• 

• 

• 

• 

36.Элементарное преобразование матрицы. Элементарное преобразования матрицы как умножение матриц.

Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями матриц. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов )

37.Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

В матрице   размеров   минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы   обозначается  .

Пример Найти все базисные миноры и ранг матрицы

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

38.Транспонирование и его свойства.

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Если матрица   - это матрица размера  , то матрица   имеет размер  .

Пример

A=	1 11 185 13 5 12 9 26 6 9 19 21 10 14 13 2
AT=		1 5 6 10 11 12 9 14 185 9 19 13 13 26 21 2

Свойства операции транспонирования матриц:

1. 

2. 

3. 

4.