15) Уравнение окружности
Пусть
есть окружность с центром в точке A1 (a;
b) и радиусом R. Возьмем произвольную
точку A (x; y) на окружности. Тогда, как
видно из рисунка, по теореме Пифагора
-
это уравнение окружности.
Если
центр окружности находится в начале
координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение
окружности принимает вид:
Обратно:
любая точка A, координаты которой
удовлетворяет данному уравнению
окружности, принадлежат окружности.
Теорема 10.5.
Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .
Доказательство
Пусть задана окружность ω (A; R) на плоскости Oxy, где точка A, центр окружности – имеет координаты a и b. По определению окружности для любой точки B (x; y), лежащей на окружности ω (A; R), верно AB = R. Но в соответствии с теоремой 10.2 AB2 = (x – a)2 + (y – b)2. Таким образом, координаты x и y любой точки окружностиω (A; R) удовлетворяют уравнению (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Обратно: любая точка B (x; y), координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки A (a; b) равно R. Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности ω (A; R). |