Показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Формула Эйлера
Пусть
-
некоторое комплексное
число.
По определению полагают, что
Если число
-
действительное, то есть
,
то
Если число
-
чисто мнимое, то есть
,
то
Таким образом, имеем равенство
которое
называется формулой
Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа
Рассмотрим
произвольное комплексное число,
записанное
в тригонометрической форме:
.
По формуле Эйлера
,а
тогда
С
ледовательно,
любое комплексное число можно представить
в так называемой показательной
форме:
Операции с комплексными числами в показательной форме
Такая форма
представления позволяет дать наглядную
интерпретацию операциям умножения
комплексных чисел,
их деления
и возведения
комплексного числа в степень.
Например, умножение комплексного числа
на
комплексное число
выглядит
следующим образом:
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :
Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.
Для возведения
комплексного числа
в
целую степень
нужно
представить это число в показательной
форме
,
модуль возвести в степень, а аргумент
увеличить в
раз:
