41. Линейные пространства. Примеры линейных пространств

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примеры линейных пространств:

1. Нулевое пространство

2. Пространства геометрических векторов

3. Арифметическое n-мерное пространство Rⁿ

4. Пространство матриц

5. Пространство непрерывных функций

42. Базисы и размерность линейного пространства

Упорядоченная система векторов а₁, …, а_nиз линейного пространства L называется базисом (базой) пространства L, если:

1. Векторы а₁, …, а_n линейно-независимы

2. Любой вектор а из L есть линейная комбинация векторов этой системы, т.е. а = х₁а₁ + … + х_na_n.

Равенство а = х₁а₁ + … + х_na_nназывается разложением вектора а по базисуа₁, …, а_n. Числовые коэффициенты х₁, …, х_n называются координатами вектора в этом базисе.

а = (х₁, …, х_n)_{а1, …, аn}

Теорема: Разложение вектора по данному базису единственно, т.е. координаты вектора определяются однозначно.

Теорема: Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис состоит из того же числа векторов.

Линейное пространство называется конечномерным, если базис состоит из конечного числа векторов. Если базис состоит из n векторов, то пространство называется n-мерным, а число n – размерностью пространства.

43. Линейные операторы в линейном пространстве Линейным (векторным) пространством называется множество   произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам   и  поставлен в соответствие вектор  , называемый суммой векторов   и  , любому вектору   и любому числу   из поля действительных чисел   поставлен в соответствие вектор  , называемый произведением вектора   на число  ; так что выполняются следующие условия:

.   (коммутативность сложения); 2.  (ассоциативность сложения); 3. существует такой элемент  , называемый нулевым вектором, что  ; 4. для каждого вектора   существует такой вектор  , называемый противоположным вектору  , что  ; 5. ; 6. ; 7. ; 8.  .