34. Исследование дробно-линейной функции.

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

где .

Область определения этой функции .

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь к виду :

Нужно взять , , .

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение .

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства выражается через .

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

35. К вадратичная форма. Канонический и нормальный вид квадратичных форм.

1.  Квадратичная форма переменных функция ,

а_{ij -}  коэффициенты квадратичной формы.

2. К анонический вид

К вадратичная форма называется канонической, если всет. е.

3. Нормальный вид

Для действительной квадратичной формы

гдеr = rank A.

Для комплексной квадратичной формы

r = rank A.

36. Методы приведения квадратичных форм к каноническому виду

Метод Лагранжа. Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

В силу симметричности матрицы квадратичную форму можно переписать следующим образом:

Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

37. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

38. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами.

z = a + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица

Два комплексных числа называются равными, если действительная и мнимая части равны.

Операции над комплексными числами

z ₁ = a + bi

z₂ = c = di

39. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент

ϕ(x=rcosϕ, y=rsinϕ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z=r(cosϕ+isinϕ).

Операции:

40. М ногочлены и их корни. Основная теорема алгебры.

Рассмотрим многочлен где a₁, a₂, ..., a_n − целые числа, a_n ≠ 0

Т еорема о рациональных корнях многочлена: Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный кореньто число p является делителем числа  (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (x – a) равен P (a), то есть 

P (x) = Q (x)(x – a) + P (a).

Основна́ятеоре́маа́лгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел.

Данное утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.