27. Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Теорема: Скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов

1. (a,b)=X₁X₂в R¹

2. (a,b)=X₁X₂ + Y₁Y₂ в R²

3. (a,b)=X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂в R³

28. Прямая линия на плоскости

1. y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом (k=tgα, α – угол наклона прямой к Ох)

2. Уравнениепрямой проходящей через тоску М₀ (х₀;у₀) с k: у-у₀=k(х-х₀)

3. Уравнение прямой проходящей через 2 точки А(х₁:у₁) и В(х₂;у₂)

4. Уравнение прямой в отрезках

5. Общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0

1. С=0

Ах + Ву = 0 (прямая через (0;0))

2. А=0, В и С≠0

Ву + С = 0 (прямая || Ох)

3. В=0, А и С≠0

Ах + С = 0 (прямая ||Оу)

29. Взаимное расположение прямых линий на плоскости

1. r(Q)=r(Q)=2, т.е. ранги матриц совпадают и равны 2

Прямые пересекаются. Т.к. ранги матриц Qи Qсовпадают, то система совместна, т.е. имеет решения. А т.к. ранг матрицы системы равен числу неизвестных, то решение системы единственно, прямые пересекаются в одной точке.

2. r(Q)≠r(Q)

Система не имеет решений, следовательно, прямые параллельны

3. r(Q) = r(Q) = 1

т.к. ранги матриц совпадают, то система совместна. А т.к. ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Следовательно прямые совпадают.

30. Окружность и эллипс (канонические уравнения)

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

1. A=B – задана окружность

(х – х₀)² + (у – у₀)² = R²

(x₀;y₀) – центр окружности

R–радиус

2. А≠В , одинаковый знак – эллипс

(x₀;y₀) – центр эллипса

а и b– полуоси

a||Ox; b||Oy

31. Парабола (каноническое уравнение)

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

1. А=0, В≠0 – парабола (ось симметрии || Ох)

(у – у₀)² = а (х – х₀)

(x₀;y₀) – вершина

Ось симметрии || Ох

Если а>0 – ветви вправо

Если а<0 – ветви влево

2. В=0, А≠0 – парабола (ось симметрии ||Оу)

(х – х₀)² = а (у – у₀)

(x₀;y₀) – вершина

Ось симметрии ||Оу

Если а>0 – ветви вверх

Если а<0 – ветви вниз

32. Гипербола (каноническое уравнение)

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

А≠В, разные знаки - гипербола

(ветви влево и вправо)

(ветви вверх и вниз)

(x₀;y₀) – центр

а и b – полуоси

33. Исследование квадратичной функции

Функция, заданная формулой y = ax² + bx + c , где x и y - переменные, а a, b, c - заданные числа, причем а≠0  , называетсяквадратичной функцией.

Рассмотрим уравнение у = ах². Это уравнение преобразуется к каноническому виду х² = 2ру, где 2р = 1/а. Следовательно, уравнение у = ах² определяет параболу с вершиной в начале координат, у которой ось симметрии является ось ординат. При а>0 – ветви вверх, при а<0 – вниз.

Рассмотри уравнение у = а(х – α)² + β. Сделаем следующие преобразования координат: х’=x-α; y’=y-β. Это есть преобразование параллельного переноса координатных осей. Уравнение у = а(х – α)² + β приводится к виду y’ = a(x’)², т.е. в новой системе координат O’x’y’ оно имеет вид у = ах² и, следовательно, в этой системе задаёт параболу с вершиной в точке O’, симметричную относительно оси O’y’.

Т.о., уравнение у = а(х – α)² + β задаёт эту же параболу в системе Оху. Относительно этой системы координат её вершина находится в точке O’(α,β). Ось симметрии || оси Оу и имеет уравнение х=а. Параметр а снова определяет направление ветвей параболы.