23. Собственные векторы и собственные значения матрицы (линейного преобразования)

Пусть по упорядоченному набору независимых переменных х1, …, хn численные значения зависимых переменных y₁, …, y_m определяются равенствами

(8.1)

Система отношений (8.1) называется линейным преобразованием переменных х1, …, хn в переменные y₁, …, y_m. Числа аij называются коэффициентами линейного преобразования (8.1).

Можносчитать, что матрицаУ=(у1, …, уm) из пространства R _m отображает вектор А. Х = (х1, …, хn) пространства Rⁿ

Если векторы Х и У как матрицы–строки транспонировать в матрицы-столбцы

Х= ,У = ,

то (8.1), согласно определениям умножениям матриц и равенства матриц, запишется в виде матричного равенства У = АХ.

Линейное преобразование называется невырожденным или неособенным, если матрица этого преобразования является невырожденной (неособенной).

Справедливо утверждение: каждое невырожденное линейное преобразование переменных

Собственным вектором данного линейного преобразования (собственным вектором матрицы А) называется всякий ненулевой вектор Х ), удовлетворяющий условию

АХ = λХ, (8.15)

гдеλ – некоторое число.

При этом число λ называется собственным значением линейного преобразования или собственным значением матрицы Аимеет единственное обратное линейное преобразование.

24. Геометрические векторы и операции над ними

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка, т.е. отрезка, у которого различают начало и конец.

Д линой (или модулем) геометрического вектораназывается длина порождающего его отрезка|AB|

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

Операции над векторами:

1. Произведение вектора на число

2. Сложение векторов

25. Базисы и разложение векторов по базисам

Базисом на координатной прямой (базисом в пространстве R¹) называется любой ненулевой вектор а₁ на этой прямой.

Теорема: Если а₁ – базис в R¹, то любой вектор а из R¹однозначно представим в виде а=αа₁, где α – некоторое действительное число.

Равенство а=αа₁называют разложение вектора по базису на прямой. Число α называют координатой вектора а в данном базиса а₁.

Если в R¹ в качестве базиса взять стандартный базис (а₁=i), то равенство а=αа₁примет вид а=Xi, где X – величина вектора а на координатной прямой.

Формула а=Xi есть разложение вектора из R¹ по стандартному базису этого пространства. Число Х есть координата вектора а в стандартном базисе.

26. Скалярное произведение векторов и его свойствa.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. (a,b)=|a||b| cosϕ.

Свойства:

1. Скалярное умножение коммутативно (перестановочно), т.е. для любых векторов а и b справедливо равенство (a,b)=(b,a).

2. Скалярное произведение сочетательно относительно умножения на числа, т.е. (αa,b)=α(a,b); (a,βb)=β(a,b); (αa,βb)=(αβ)(a,b)

3. Скалярное произведение дистрибутивно (распределительно) относительно сложения векторов (a.b+c)=(a,b)+(a,c)

4. Скалярное произведение двух векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны (ортогональны)

5. Для любого вектора а имеет место равенство (а,а)=|a|², т.е. при скалярном умножении вектора самого на себя получается квадрат его длины.