14. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Если некоторый вектор a представим в виде а =α₁а₁ + … + α_sa_s, где α1, …, αs – некоторые действительные числа, то говорят, что вектор а линейно выражается через векторы а1, …, аs (вектор а является линейной комбинацией этих векторов).

Система векторова1, …, аsназывается линейно зависимой, если выполняется равенство: α₁а₁ + … + α_sa_s=0

Система векторов а1, …, аsназывается линейно независимой, если равенство

α₁а₁ + … + α_sa_s=0 справедливо что α₁=…= α_s=0

Система состоящая из одного ненулевого вектора линейно независима. α₁а₁=0 (а₁неравно 0)

Т.е. имеет нулевое решение => линейно независима, имеет ненулевое решение=> линейно зависима.

Утверждения:

1. Система векторов а1, …, аsлинейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы.

2. Если часть системы векторов (подсистемы системы а1, …, аs) линейно зависима, то и вся система линейно зависима

3. Если вся система линейно независима, то и любая подсистема линейно независима (в частности нулевой вектор не может входить в линейно независимую систему)

4. Всякая система а1, …, аsсодержащая нулевой вектор или два равных или два пропорциональных вектора => линейно независима

15. Базис и ранг системы векторов

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Определение. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида

, где с1, с2, …, сk - некоторые числа.

16. Ранг матрицы, теоремы о ранге

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

Теоремы:

1. Если какой-нибудь минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка, его окаймляющие, равны нулю, то ранг матрицы равен r.

2. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется

17. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли)

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

18. Критерий определенности системы линейных уравнений

Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Т аким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных,

Тогда:

1) при система несовместна;

2 ) при система совместна, причём, если, система определённая; если же , , система неопределённая.

19. Фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений

Любая совокупность n−r линейно независимых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется фундаментальной системой (или совокупностью) решений данной системы линейных алгебраических уравнений.

20. Структура общего решения систем линейных уравнений (однородной и неоднородной)

Однородная система линейных уравнений

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение x₁=x₂= … =x_n=0(x=o). Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных (rgA=n), то тривиальное решение единственное. Предположим, что r=rgA<n. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений.

21. Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана– Гаусса

Система линейных уравнений называется системой с базисом, если в каждом её уравнении содержится какое-нибудь неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях системы.

Метод Жордана-Гаусса используется для приведения системы к системе с базисом и нахождения базисного решения.

22. Канонические системы. Преобразование однократного замещения.

Система с базисом, у которой свободные члены всех ее уравнений неотрицательны, называется канонической системой уравнений.

Переход от одной канонический системы к равносильной ей канонической системе, в результате которого одно из базисных неизвестных заменяется некоторым свободным неизвестным, называется преобразованием (операцией) однократного замещения.

Теорема: Если в канонической системе уравнений среди коэффициентов при каком-либо свободном неизвестном имеется хотя бы один положительный, то возможен переход к новой канонической системе, эквивалентной исходной, в которой указанное свободное неизвестное окажется базисным (при этом одно из базисных неизвестных станет свободным)

Алгоритм преобразования однократного замещения:

1. По данной системе заполняется таблица Жордана-Гаусса с добавление двух столбцов - столбца базисных элементов и столбца Ө

2. Выбирается разрешающий столбец (Любой столбец из коэффициентов при свободных неизвестных, имеющий хотя бы один положительный элемент)

3. Заполняется столбец Ө (Для этого элементы свободного столбца (правые части системы) делятся на элементы разрешающего столбца)

4. Выбирается разрешающая строка (где Ө – наименьшее неотрицательно число)

5. Выбирается разрешающий элемент (элемент на пересечении разрешающего столбци и разрешающей строки)

6. Заполняется новая таблица по алгоритму приведения системы к системе с базисом.