11. Обратная матрица и её нахождение.

Квадратная матрица А n-го порядка называется обратимой, если существует квадратная матрица Х того же порядка, удовлетворяющая соотношениям АХ=ХА=Е.

Каждая матрица Х, удовлетворяющая равенству АХ=ХА=Е, называется обратной к А и обозначается А^-1.

Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенно), если выполняется условие |A|≠0

В противном случае матрица А называется вырожденной (особенной)

Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную, которая имеет вид:

Вырожденная матрица обратной не имеет

Алгоритм нахождения А^-1:

1. Найти определитель

|A|=0, А^-1 не существует

|A|≠0, то обратная матрица существует и единственно

2. Находим все алгебраические дополнения матрицы А (A_ij=(-1)^i+j * M_ij)

3. 

4. Проверка А^-1*А=Е

12. Матричный метод решения систем

Теорема: Если матрица системы неособенная, то система имеет единственное решение, которое представимо в матричном виде Х=А^-1В

Алгоритм:

1. Вычислить определитель матрицы А

|A|=0, А^-1 не существует

|A|≠0, то обратная матрица существует и единственно

2. Находим А^-1

3. По формуле Х=А^-1В согласно правилам умножения матриц и умножения матрицы на число получаем неизвестную матрицу Х

13. Арифметическое n-мерное векторное пространство

Упорядоченный набор из n действительных чисел х1, …, хn называется арифметическим n-мерным вектором и обозначается а = (х₁, …, х_n).

Числа х_i (i = 1, …, n) называются координатами или компонентами вектора а. Всякий такой вектор можно трактовать и как матрицу-строку размерности 1 х n.

Если у n-мерного вектора все координаты равны нулю, то вектор называется нулевым; такой вектор имеет вид 0 = (0, …, 0).

Два n-мерных вектора а= (х₁, …,х_n) и b = (y₁, …, y_n) называются равными (записывают а = b), если х_i = y_i (i = 1, …, n).

Суммой двух n-мерных векторов а = (х₁, …, х_n) и b = (y₁, …, y_n) называется вектор a + b= (x₁+y₁, …, x_n+y_n). Произведением вектора а= (x₁, …, x_n) на действительное число α называется вектор αа = (αх₁, …, αх_n).

Умножить вектор а на число α означает, что нужно умножить все координаты вектора ана это число.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. a + b = b + a, (коммутативность/переместительность)

2. a + (b + c) = (a + b) + c, (сочетательное свойство)

3. a + 0 = a.

Непосредственно из определения операции умножения вектора на число вытекают следующие свойства этой операции:

1) 1 · а = а,

2) 0 · а = 0,

3) α • 0 = 0,

4) α (β а) = (α β) а (сочетательное свойство)

Операции сложения векторов и умножения вектора на число связаны между собой следующими дистрибутивными (распределительными) соотношениями:

1) α( а + b) = αа + αb,

2) (α + β) а = αа + βа.

Разностью векторов а= (х₁, …, х_n) и b= (y₁, …,y_n) будем называть вектор

a – b = a +(-1)b, т.е.

а – b = (x₁ – y₁; …, x_n – y_n).

Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rⁿ.