5. Алгоритм Гаусса вычисления определителей

Для вычисления определителя матрицы методом Гаусса необходимо привести матрицу к треугольному виду.

1. Разделим элементы каждой строки на первый элемент соответствующей строки

2. Вычтем из элементов всех строк, начиная со второй, элементы первой строки

3. Повторим данный алгоритм для внутренних строк. Продолжать будем до тех пор, пока размер конечной матрицы не станет размера 1x1

6. Общие сведения о системах линейных алгебраических уравнений

• Система называется неоднородной, если все правые части b_i равны нулю.

• Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

• Система, которая не имеет ни одного решения, называется несовместной (противоречивой).

• Система определенна если имеет одно единственное решение.

• Система неопределенная, если больше одного решения.

• Система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной линейной системой.

• Всякая однородная система совместна, т.к. она имеет решение (0, …, 0) – нулевое (тривиальное) решение.

• Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если они обе несовместны, либо обе совместны и обладают одними и теми же решениями (множества их решений совпадают).

7. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразований.

Элементарные преобразования:

1. Перестановка местами любых двух уравнений системы

2. Умножение любого уравнения системы на отличное от нуля число

3. Прибавление к любому уравнению системы всякого другого уравнения, умноженного на некоторое число.

Теорема: при элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему.

8. Исследование систем методом Гаусса.

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований получится уравнение с отличным от нуля свободным членом и нулевыми коэффициентами при неизвестных, то система будет несовместной. Если такого уравнения не получим, то система совместна. При этом совместная система будет определенной, если она привелась к треугольному виду (r=n), и неопределённой, если она привелась к трапецоидальному виду с r<n.

Алгоритм:

1. Составить таблицу Гаусса

2. Разрешающий элемент a_ij≠0

9. Крамеровские системы. Метод Крамера.

Система линейных уравнений называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных.

Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определена, т.е. имеет единственное решение

10. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.

Метод Гаусса включает в себя прямой ход (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными. То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Метод Жордана-Гаусса

Базисные решения – решения в которых свободные переменные равны нулю.

Алгоритм:

1. Составить таблицу

б

Х1

Х2

...

bi

2. Выбрать разрешающий элемент a_ij≠0 (среди коэффициентов перед неизвестными)

I – разрешающая строка

J – разрешающий столбец

3. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент

4. Элементы разрешающего столбца не принадлежащие разрешающей строке заполняем нулями

5. Элементы остальных строк пересчитываем по правилу прямоугольника

6. Пункты 2-5 повторяем до тех пор, пока для каждого уравнения не найдем базисную переменную.