2)Что представляет дискретный ряд Фурье? Привести 2 формы записи дискретного ряда Фурье.

Ответ: Известно, что периодическая с периодом  ограниченная кусочно-гладкая функция  может быть представлена своим рядом Фурье:

,

где: . Преобразование Фурье: Для непериодических функций ряд Фурье заменяется интегралом Фурье:

где: .

Связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье: Рассмотрим функцию  , равную нулю вне интервала  . С одной стороны, для нее можно определить преобразование Фурье, а с другой стороны, ее можно считать периодически продолженной и определить для нее коэффициенты ряда Фурье. Тогда имеем: Сравнивая полученные выражения, можно сделать вывод, что: т.е. коэффициенты ряда Фурье для периодического продолжения функции  определяют значение преобразования Фурье в дискретных точках  . Дискретное преобразование Фурье: Для последовательности  , состоящей из  действительных или комплексных чисел определяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ) :

,

где:   — дискретные экспоненциальные функции. Так как дискретные экспоненциальные функции  являются ортогональными, т.е. удовлетворяют условию: то справедливо обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):

3)Как определяются коэффициенты ряда Фурье?

Ответ:  Тригонометрическая система:

Коэффициенты Фурье функции f периода  : либо:

Ряд Фурье функции f: Если f четная, то:   ряд Фурье:  Если f нечетная, то:   ряд Фурье:  Если функция f кусочно-дифференцируема, то: Неравенство Бесселя: Равенство Парсеваля:

Ряд Фурье в комплексной форме:

Ряд Фурье функции периода 2l по системе:

где:

(коэффициенты Фурье). Ряд Фурье функции f по ортогональной системе функций   на отрезке [a; b]:

где:  Равенство Парсеваля (условие полноты):

4)Каковы свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией. Рассмотреть случаи симметрии относительно оси абсцисс, относительно оси ординат и относительно начала координат.

Ответ: Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

1. К ривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству    (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные г армоники, т.е.   .

2. Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство    (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е.   .

3. К ривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству   (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е.   .