25)Извлечение корня из комплексного числа.

Ответ: Определение: Корнем  -ой степени из комплексного числа   называется такое комплексное число  ,  -я степень которого равна  , то есть: . Корень  -ой степени из комплексного числа   обозначается символом   и на множестве комплексных чисел имеет ровно   значений. Если комплексное число   задано в тригонометрической форме:  , то все значения корня  -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса   с центром в начале координат и образуют правильный  -угольник.

26)Функция комплексного переменного.

Ответ: Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества   и   комплексных чисел.

Если каждому значению   ставится в соответствие число  , то говорят, что на множестве   задана функция   комплексного переменного, т.е. Если записать числа   и   в алгебраической форме:  , то замечаем, что действительная   и мнимая   части функции   являются функциями переменных   и   и  . Задание функции   эквивалентно заданию на множестве   двух функций   двух действительных переменных. Кроме того, если для числа   записать модуль   и аргумент  для   и   при   ( при   и   при  ), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного   равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции:  , вторая — аргумент функции:  , где   в точках, в которых   при   и   при  .

27)Комплексная экспонента. Формула Эйнера.

Ответ:

Формула Эйлера для комплексной экспоненты:

Формула, связывающие показательную и тригонометрическую функции eiz = cos z + i sin z , где z – произвольное комплексное число, а i – единица мнимая, называется формулой Эйлера для комплексной экспоненты. Из нее вытекают два других тождества: cos z = (eiz + e-iz) / 2, sin z = (eiz - e-iz) / 2i.

Экспоне́нта (комплексного переменного) — математическая функция, задаваемая соотношением f(z) = e^z, где z есть комплексное число.

Вообще говоря, такое определение формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому более точно экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты  f(x) = e^x вещественного переменного x. Определим формальное выражение: .

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции e^z, т.е. показать, что e^z разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это: Сходимость данного ряда легко доказывается: .

Ряд всюду сходится абсолютно, т.е. вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z) = e^z. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, функция e^z является аналитической и определенной. Комплексная экспонента, в отличие от экспоненты вещественного переменного, периодична. Из формулы Эйлера следует, что

. Отметим, кроме того, что функция e^z имеем чисто мнимый предел. Из периодичности комплексной экспоненты следует, что максимальной областью однолистности будет горизонтальная полоса на комплексной плоскости