11)Интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда.

Ответ: Сформулируем понятия области и интервала сходимости ряда, укажем способ определения радиуса сходимости, на примере обозначим специфику нахождения радиуса и интервала сходимости ряда, запишем гармонический расходящийся ряд и знакочередующийся ряд, сходящийся условно. В соответствии с теоремой Абеля отметим: при условии, что x₁ является точкой сходимости ряда (30.2) ряд предполагает сходимость абсолютно во всех точках интервала Если есть точка расходимости (30.2), то во всех точках интервалов ряд расходится. Тогда заключим: имеется такое число R, что на ряд (30.2) сходится абсолютно, а на расходится. В этом случае справедлива ниже обозначенная теорема. Т: Область сходимости ряда (30.2) — это интервал предполагается расходимость ряда. Интервал R определен в качестве его радиуса сходимости. Существуют некоторые ряды, для которых интервал сходимости вырождается в точку (R=0) , при этом, имеются и такие ряды, для которых интервал охватывает всю ось . Если x=R , то ряд может расходиться и сходиться. Это зависит от конкретного ряда. Запишем способ нахождения радиуса сходимости ряда (30.2). Исследуем ряд, составленный их абсолютных величин его членов и используем по отношению к нему признак Даламбера: При условии, что (иначе выражаясь, ) ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Запишем: (30.4). Если , то ряд (30.2) расходится, поскольку общий член ряда не стремится к 0. Получается, что формула (30.4) обеспечивает радиус сходимости.

12)Ряды Тейлора и Маклорена.

Ответ: Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: Разложение некоторых функций в ряд Маклорена: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

13)Задачи приводящие к понятию “двойного интеграла”.

Ответ:

1)Объём цилиндрического тела: Пусть дано трёхмерное тело в пространстве – ограниченное снизу – плоскостью хОу, сверху: графиком функции z=f(x,y), и боковой цилиндрической поверхностью, с образующей параллельно оси OZ.

Основанием – является двумерная область (сигма). Нужно найти – объём цилиндрического тела. Решение: Разобьём основание - на n участков; 2)Масса неоднородной плоской пластины: Пусть мы имеем – плоскую пластинку, занимающую площадь - плоскости xOy, на которой неравномерно распределена масса – с поверхностной плотностью . Требуется найти: массу пластинки M. Разобьём - на мелкие участки , так что их число – равно n. Тогда масса участка . Масса всей пластинки:

14)Двойной интеграл, как предел интегральной суммы.

Ответ: Пусть дана функция: Z=f(x,y), которая определена – в некоторой области , плоскости xOy (смотри рис. 1) т.е. в 13 вопросе – Задачи приводящие к понятию “двойного интеграла”. Разобьём область - на n мелких участков , на каждом из которых – выберем точку (x_i, y_i). - сумма называется – интегральной суммой – от функции f(x,y) по области . Если существует конечный предел – последовательности интегральных сумм: При неограниченном возрастании числа n – участков , так что каждый из них – стягивается в точку (x_i,y_i) – независящий от способа разбиения области - на участке , и от выбора точек (x_i,y_i) – на этих участках, то этот предел – называется – двойным интегралом – от функции f(x,y) – по области , и обозначается так: , так по определению: С учётом определения (1) - объём цилиндрического тела равен: . Масса неоднородной пластинки: . Теорема: Двойной интеграл - от функции f(x,y) – непрерывной в ограниченной - замкнутой области - существует.