§4. Векторное произведение Определение векторного произведения.

В екторным произведением векторов и , взятых в указанном порядке, называется вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим условиям:

1. .

2. .

3. Ориентация тройки векторов совпадает с ориентацией выбранного базиса.

Так как мы договорились рассматривать правые базисы, то в нашем случае – правая тройка (рис. 1.14).

Свойства векторного произведения

1. (критерий коллинеарности).

► .◄

2. - антикоммутативность.

►а) .

б ) . Кроме того, если , то существует плоскость P такая, что , поэтому , а значит, и . Итак, . Остаётся убедиться в сонаправленности этих векторов.

{ -правая} левая} правая}

.

Таким образом, длины и направления векторов и совпадают, значит .◄

3. , .

4.

Эти два свойства мы докажем в § 5.

5. Линейные комбинации векторов векторно умножаются по правилу умножения многочленов. При этом не следует забывать, что сомножитель из первой скобки обязательно должен быть на первом месте.

Это свойство является следствием 3-го и 4-го.

Пример. ▼

.▲

6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки.

7. Физический смысл векторного произведения. Моментом силы , приложенной к точке А, относительно точки О является вектор .

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе

Сначала составим таблицу векторного умножения базисных векторов. Векторы первого столбца будем считать первыми сомножителями, а векторы верхней строчки – вторыми. Согласно критерию коллинеарности, . Очевидно, , . Кроме того, т.к. тройка векторов - правая, то , . Аналогично заполняются остальные клетки.

Пусть теперь заданы два вектора и своими координатами в базисе . Тогда

. (1)

Для облегчения запоминания этой формулы введем понятие определителя второго и третьего порядка (подробно теория определителей будет изучаться в линейной алгебре).

Определитель второго порядка записывается в виде таблицы, ограниченной вертикальной чертой с обеих сторон, и вычисляется следующим образом:

Здесь первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца.

Определитель третьего порядка вычисляется так:

.

Теперь из (1) получаем:

.

Это и есть та формула, которую вы должны запомнить.

§5.Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число .

Свойства смешанного произведения

1. Критерий компланарности. Для того чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

►Необходимость. Дано: -компланарны. Тогда

{существует плоскость P, что .

Достаточность. Дано: . Рассмотрим два случая:

а) ;

б )

плоскость

плоскость .◄

2 . Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объёму V параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов - правая и минус, если - левая.

Рис. 1.15

(1)

►

Заметим, что на рис. 1.15 тройка - левая◄

3. .

►На основании коммутативности скалярного произведения, достаточно доказать равенство . Если векторы компланарны, то утверждение истинно согласно первому свойству. Если же они некомпланарны, то

(2)

Так как ориентации троек и совпадают, то из (1) и (2) вытекает доказываемое утверждение. ◄

На основании этого свойства мы делаем вывод, что не имеет значения, в каком месте ставить «крестик», а в каком «точку». Поэтому в смешанном произведении эти знаки не ставятся вообще, и оно обозначается так: .

4. : .

►Первые три смешанных произведения равны вследствие того, что тройки одинаково ориентированы, а в последней тройке ориентация меняется, поэтому смешанное произведение меняет знак. ◄

5. , , .

►Докажем, к примеру, второе равенство:

.◄

6. .

Доказывается так же, как и предыдущее.

Выражение смешанного произведения через координаты

перемножаемых векторов в ортонормированном базисе

Пусть заданы три вектора своими координатами в ортонормированном базисе: . Тогда

;

.

Доказательство третьего и четвертого свойств векторного

произведения

Докажем равенство:

. (3)

►Выберем произвольный вектор . Тогда

. (4)

Так как (4) справедливо для любого вектора , то, на основании свойств скалярного произведения, из (4) вытекает (3).

Остальные равенства доказываются аналогично.◄