О риентация тройки векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если, глядя с конца третьего вектора на плоскость первых двух, мы видим поворот от первого вектора ко второму по кратчайшему пути происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Так, на рис. 1.9 тройка является левой.

Рис. 1.9

Свойства ориентации

1. { - правая} { - левая}.

2. { - правая} { - левая}.

3. { - правая} { - правая}.

Перестановка упорядоченного множества называется циклической, если каждый его элемент ставится на место предыдущего (или последующего). Как мы видим, при циклической перестановке тройки векторов ее ориентация не меняется.

Базисные векторы правого ортонормированного базиса будем обозначать (так же, как и в школе). В дальнейшем мы будем использовать только прямоугольные системы координат, как правило, правые.

Преобразования систем координат на плоскости

Параллельный перенос. Параллельным переносом называется такое преобразование системы координат, при котором координатные оси «старой» и «новой» систем сонаправлены (рис.1.10). Выберем на плоскости произвольную точку и обозначим ее координаты в старой системе и – в новой. Пусть начало новой системы координат – точка – в старой системе имеет координаты . На рис. 1.10 , значит,

(7)

Ф ормулы (7) и задают преобразование параллельного переноса.

Преобразование поворота. При повороте системы координат начала старой и новой систем совпадают, а базисные векторы новой образуют с базисными векторами старой некоторый угол . Обозначим векторы старой системы, как обычно, и , а векторы новой – и (длины всех базисных векторов равны единице). На рис. 1.11 видим: , . Если – произвольная точка плоскости, и – ее координаты соответственно в старой и новой системах координат, то