АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

КУРС ЛЕКЦИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ФАКУЛЬТЕТА РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ БЕРЁЗКИНА Л.Л.,

ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ ВЫСШЕЙ МАТЕИАТИКИ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ БГУ

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Р.Ф.Апатёнок и др. Элементы линейной алгебры и аналитической

геометрии.

2. В.А. Ильин, Э.Г.Позняк. Аналитическая геометрия.

3. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Линейная алгебра.

4. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

5. А.А.Бурдун и др. Сборник задач по алгебре и геометрии.

Часть I. Аналитическая геометрия глава 1. Элементы векторной алгебры

§ 1. Векторы и линейные операции над ними

Понятие вектора

Связанным вектором называется направленный отрезок. Связанный вектор характеризуется длиной, направлением и точкой приложения. Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к упругому телу.

Направленные отрезки называются эквивалентными, если они имеют одинаковые длины и направления.

С вободным вектором, соответствующим направленному отрезку , называется множество всех направленных отрезков, эквивалентных (рис 1.1). Свободный вектор характеризуется только длиной и направлением (примером может служить угловая скорость). Каждый направленный отрезок, при-

Рис. 1.1 надлежащий данному свободному вектору, называется его представителем.

В аналитической геометрии, как правило, используются свободные векторы. Слова» свободный» и «связанный» обычно опускаются, о каких векторах идет речь должно быть понятно из контекста.

Свободные векторы называются коллинеарными, если их представители параллельны одной и той же прямой.

Свободные векторы называются компланарными, если их представители параллельны одной и той же плоскости.

Нулевым называется свободный вектор, у каждого представителя которого начало совпадает с концом.

Длиной свободного вектора называется длина любого из его представителей.

Углом между свободными векторами называется угол между его представителями, отложенными от одной точки.

Сложение векторов

О пределение. Error: Reference source not foundПусть заданы свободные векторы и . Выберем в пространстве произвольную точку О и отложим от неё вектор . Получим направленный отрезок

. От точки А отложим вектор . Получим направленный отрезок .Error: Reference source not found Свободный вектор, представителем которого является направленный отрезок , называется суммой своб

одных векторов и (рис. 1.2).

Упражнение. Докажите корректность определения, т.е. докажите, что результат сложения не зависит от выбора точки О.

Приведенное правило сложения векторов называется правилом треугольника или правилом замыкающей. Кроме того, для сложения векторов можно применять известное вам со школы правило параллелограмма.

Свойства операции сложения

1. : (коммутативность);

2. : (ассоциативность);

3. : ;

4. : .

Эти свойства вам известны ещё со школы, поэтому на их доказательстве мы останавливаться не будем.

Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. , .

Заметим, что в случае, когда , , значит .

Свойства операции умножения вектора на число

1. : ;

2. : ;

3. : ;

4. : .

Эти свойства мы также не доказываем, т.к. и они вам известны со школы.

Критерии коллинеарности и компланарности

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде произведения другого вектора на число, т.е., чтобы существовало число такое, что , или существовало бы число такое, что . При этом, если один из векторов ненулевой, то второй можно через него выразить.

►Достаточность. Дано: . Тогда согласно определению произведения вектора на число.

Необходимость. Дано: . Рассмотрим два случая:

1. Один из векторов нулевой, например, . Тогда , т.е. .

2. Оба вектора ненулевые. Положим

.

Тогда . Кроме того,

(рис. 1.3); (рис. 1.4).

Рис. 1.3 Рис.1. 4

Таким образом, векторы и имеют одинаковые длину и направление, значит, они совпадают.

Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других. При этом если два из векторов неколлинеарные, то третий можно через них выразить.

► Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других, например . Возможны два случая.

а) - компланарны}.Error: Reference source not found

б) Векторы и неколлинеарные. Доказательство вытекает из того, что треугольник – плоская фигура (см. рис. 1.5).

Необходимость. Дано: - компланарны.

а) ;

б) и - неколлинеарные. Отложим все три вектора от одной точки О (см. рис 1.6) и проведем Тогда:

, Error: Reference source not found (1)

, (2)

, (3)

Из (1), (2), (3) вытекает, что .◄