44.Линейные операции над векторами и их координатная запись.

Произведением вектора   на число  называется вектор, получающийся из вектора   растяжением (при  ) или сжатием (при  ) в   раз, причём направление вектора   сохраняется, если  , и меняется на противоположное, если 

Суммой векторов   и   называется вектор  , начало которого совпадает с началом вектора  , а конец - с концом вектора  , при условии, что начало вектора  приложено к концу вектора  .

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

,

т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2.Вычитание:

или, что то же

,

т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

45.Скалярное произведение векторов и его свойства.

6.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cosg=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

                                   

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.

6.3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

   

    т.е

49.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением 3 векторов называется векторное произведение первых двух, скалярно помноженного на третий =( x )* Смешанное произведение – число Св-ва смешенного произведения: 1) Модуль смешенного произведения, численно равен объему параллепипеда построенного на данных векторах. 2)три не нулевых вектора, каждые два из которых не колинеарны,компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0. 3)Если смешанное произведение векторов (+),то тройка векторов правая, если(-) то тройка левая

50.Смешанное произведение в координатах

Смешанное произведение в координатах есть определитель 3 порядка ,составленный из координат этих векторов 51.Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости.

52. Уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через 2 заданные точки