Геометрическое описание уравнения Фика[править | править вики-текст]
Во втором уравнении Фика в левой части стоит скорость изменения концентрации во времени, а в правой части уравнения — вторая частная производная, которая выражает пространственное распределение концентрации, в частности, выпуклость функции распределения температур, проецируемую на ось х.
Уравнения Онзагера для многокомпонентной диффузии и термодиффузии[править | править вики-текст]
Законы
Фика применимы для случая малых значений
концентраций
и
градиентов концентрации 
.
В 1931 году, Ларс Онзагер[3] предложил модель для описания процессов переноса многокомпонентной среды в случае линейных термодинамических неравновесных систем:
здесь 
—
поток i-ой
компоненты и 
— термодинамическая
сила.
Термодинамическая сила по Онзагеру определяется как градиент от частной производнойэнтропии (термин «сила» Онзагер брал в кавычки, поскольку здесь подразумевается «движущая сила»):
здесь 
-
«термодинамические координаты». Для
тепло- и массопереноса мы можем
положить 
(плотность
внутренней энергии) и
это
концентрация i-ой
компоненты. Соответствующее значение
движущих сил в таком случае выражаются
следующим образом:
поскольку 
здесь T -
температура и 
-
химический потенциал i-ой
компоненты. Следует отметить, что данное
рассмотрение приводится без учета
движения среды, поэтому мы здесь
пренебрегаем членом с производной
давления. Такое рассмотрение возможно
в случае малых концентраций примесей
с малыми градиентами.
В линейном приближении вблизи точки равновесия мы можем выразить термодинамические силы следующим образом:
Матрица кинетических
коэффициентов 
должна
быть симметричной (Теорема
Онзагера)
и положительно
определенной (в
случае роста энтропии).
Транспортное уравнение в таком случае может быть записано в следующем виде:
Здесь
индексы i,
j, k=0,1,2,…
относятся к внутренней энергии (0) и
разным компонентам. Выражение в квадратных
скобках является матрицей 
диффузионных(i,
k>0),
термодиффузионных (i>0, k=0
or k>0, i=0)
и температуропроводных (i=k=0)
коэффициентов.
В изотермическом
случае T=const
и термодинамический потенциал выражается
черезсвободную
энергию (или свободную
энтропию (англ.)русск.).
Термодинамическая движущая сила для
изотермичной диффузии определяется
отрицательным градиентом химического
потенциала 
,
и матрица диффузионных коэффициентов
выглядит следующим образом:
(i, k>0).
Существует
произвол в выборе определения для
термодинамических сил и кинетических
коэффициентов, поскольку мы не можем
измерить их отдельно, а только их
комбинацию 
.
Например, в оригинальной работе
Онзагер[3] использовал
дополнительный множитель T,
тогда как в курсе
теоретической физики Ландау и
Лифшица[4] этот
множитель отсутствует и сила имеет
противоположный знак. Это различие
можно учесть
Коэффицие́нт диффу́зии — количественная характеристика скорости диффузии, равнаяколичеству вещества (в массовых единицах), проходящего в единицу времени через участок единичной площади (например, 1 м²) при градиенте концентрации, равном единице (соответствующем изменению 1 моль/л → 0 моль/л на единицу длины). Коэффициент диффузии определяется свойствами среды и типом диффундирующих частиц.
Зависимость коэффициента диффузии от температуры в простейшем случае выражаетсязаконом Аррениуса:
,
где 
—
коэффициент диффузии [м²/с]; 
— энергия
активации [Дж];
— универсальная
газовая постоянная [Дж/К];
—
температура [K].