Геометрия задачи

Рассеивающая частица находится в точке . Направление дипольного момента составляет угол с направлением радиуса вектора R, соединяющего диполь (точку ) с точкой наблюдения M.

Согласно теории дипольного излучения в точке M рассеянная диполем радиация определяется соотношением (1), где и – амплитуды электрического и магнитного полей рассеянной диполем радиации:

(1)

( – вторая производная по времени от дипольного момента , являющегося функцией от ): ; - скорость света.

Поток лучистой энергии рассеянной радиации определяется вектором Умова-Пойнтинга :

(2)

Тогда

(3)

Будем считать, что падающий свет монохроматический с частотой тогда для дипольного момента имеем

, (4)

(5)

и формула (3) для потока рассеянной лучистой энергии преобразуется в

. (6)

Осредняем это выражение по времени и, учитывая, что среднее за период от равно , получаем: (7)

В этой формуле помимо понятных величин имеются не очень ясные величины и . Попробуем разобраться с ними, заодно приблизив геометрию задачи к реальным условиям наблюдения, например, к оценке рассеянного небосводом светового потока при заходе солнца. Направим ось горизонтально в направлении заходящего солнца (С), ось в зенит, а ось перпендикулярно плоскости рисунка (плоскости рассеяния). Тогда картинка наблюдения (не нарушая общности задачи) будет выглядеть следующим образом:

Введем прямоугольную систему координат ( ).

Плоскость рассеяния ( ) (в которой лежит источник (Солнце) и точка наблюдения ) и плоскость ( ) – взаимно перпендикулярны.

I и II - разложение по осям Z и Y интенсивности неполяризованного потока идущего от Солнца (закат).

, – угол рассеяния в направлении М.

Рассмотреть случаи наблюдения вдоль:

1) – неполяризованный свет,

2) – поляризованный по .

3) YO поляризованный по Z.

Луч солнца при заходе идет вдоль оси . Ось направлена в зенит. Ось перпендикулярна плоскости рисунка.

Свет солнца, идя вдоль оси , в точке рассеивается и под углом в плоскости рисунка идет к наблюдателю . Очевидно, что задача имеет осевую симметрию относительно оси .

Разложим вектор электрического поля солнечного излучения в точке на две равные, взаимоперпендикулярные составляющие.

Одна (I) – перпендикулярна плоскости (эта плоскость называется плоскостью рассеяния) и направлена вдоль оси .

Вторая (II) лежит в плоскости (плоскости рассеяния) и направлена вдоль оси . Ее проекция на направление равна .

Оценим теперь потоки лучистой энергии для (I) и (II), используя формулу (7).

Две взаимоперпендикулярные составляющие и образуют поток рассеянной радиации вдоль .

Для составляющей I ( ) угол ; (8)

Для составляющей II ( ) угол

(9)

Рассеянную радиацию в точке наблюдения M формируют две взаимно перпендикулярные составляющие электрического поля: I в плоскости ( ) и в плоскости рассеяния ( ).

Очевидно, что:

(10)

Множитель появляется т.к. равный поток направлен и в противоположном вектору направлении.

На основании (10) поток энергии, рассеянной единицей объема, содержащей диполей, в направлении равен:

(11)

где суммирование идет по всем диполям в единице объема (предполагается, что все равны ).

Учитывая, что , имеем

(12)

Итак, мы избавились от виртуального угла - появился конкретный угол рассеяния .

Теперь эта формула ближе к конкретному использованию, т. к. появилась вполне понятная зависимость от угла рассеяния в поставленной нами задаче (см. рис. 6).

Остаётся избавиться от .

Очевидно, что - электрический дипольный момент единицы объёма для достаточно разреженного газа (за который можно принять земную атмосферу), находящегося в поле солнечного излучения . Для такой среды согласно газовой теории можно записать

(13)

где - диэлектрическая проницаемость воздуха. Учитывая, что в условиях задачи принято, что имеем:

(из ), здесь n - коэффициент преломления воздуха.

Тогда из (13) получаем

, где – поле радиации Солнца.

в силу одинаковости рассеивающих частиц (дипольные молекулы), – число частиц в единице объема. В частности, число Лошмидта .

Отсюда ,

.

Тогда формула (12) запишется в виде

(14)

Теперь мы избавились и от виртуального ! Правда, остаются и .

Эта формула выражает количество рассеянной лучистой энергии, проходящей в единицу времени через единицу площадки, расположенной на расстоянии от рассеивающего объема перпендикулярно направлению распространения рассеянного света, составляющего угол с направлением падающего солнечного потока.

Далее, в пределах единичного телесного угла вдоль направления количество рассеянной лучистой энергии будет

(15)

Так как среднее за период значение вектора Умова-Пойнтинга для потока падающего солнечного света (в нашей постановке задачи) равно:

(16)

и имеет множитель см.(2), то среднее за период от . В результате средний за период поток от Солнца .

Таким образом, находим, наконец, выражение для направленного коэффициента рассеяния:

(17)

Вспомним, что для релеевского рассеяния объемный коэффициент рассеяния мы определили как: (см. общую постановку задачи рассеяния, формальный ввод понятий направленного и объемного коэффициентов рассеяния (0)). Теперь из вида формулы (17) мы получаем

1. зависит от .

2. – индикатрисса рассеяния.

Для объемного коэффициента рассеяния (см. (0)) имеем:

расчет интеграла показывает, что он равен . Подставляя его значение в формулу для , получаем окончательно:

(18)

Это и есть знаменитая формула рассеяния в атмосфере – формула Релея.