Метод последовательного улучшения решения задачи лп (симплекс-метод)

Для случая, когда число переменных более трёх, геометрический метод решения задачи ЛП стано­вится невозможным, и тогда применяют аналитические методы. К числу таких методов относится так называемый симплекс-метод. Изложим суть симплекс-метода.

Пусть требуется решить задачу ЛП, записанную в канонической форме:

Систему линейных уравнений можно записать в виде:

, (4.1)

где – столбцы матрицы А системы ограничений, – столбец свободных членов системы.

Пусть ранг матрицы А равен m, тогда m столбцов матрицы А линейно неза­­висимы. Базисным решением системы линейных уравнений (4.1) назы­ва­ется­ решение, ненулевым компонентам которого соответствуют линейно неза­ви­симые столбцы матрицы А. Если базисное решение удовлетворяет условию неот­ри­ца­тельности, то оно называется опорным. Опорное решение называется невырожденным, если оно содержит ровно m положительных компонент, и называется вырожденным в противном случае.

Пусть множество допустимых планов задачи (2.9) непусто и зада­но в виде системы (4.1). Точка является вершиной многоу­го­ль­ника тогда и только тогда, когда – опорное решение (план) системы . Идея симплекс-метода и состоит в последовательном целена­п­равленном продвижении по опорным планам задачи ЛП, когда каждый после­дующий опорный план не хуже предыдущего, т.е. , вплоть до получения оптимального плана (или выяснения неразрешимости задачи). При этом используются следующие теоремы.

Теорема 2 (признак оптимальности опорного плана). Опорный план является оптимальным планом задачи (2.9), если относительные оценки

. (4.2)

При этом называют относительной оценкой погрешности переменной – вектор коэффициентов целевой функции при базисных перемен­­ных , т.е. ;

– столбец матрицы ограничений А при переменной ;

– коэффициент при переменной в целевой функции.

Теорема 3 (признак неограниченности целевой функции). Если

для некоторого номера и среди чисел – элементов столбца – нет положительных (т.е. все ), то целевая функция задачи (2.9) не ограничена на множестве её допустимых планов.

Теорема 4 (о возможности улучшения опорного плана). Если опорный план задачи (2.9) невырожден и некоторое , но среди чисел есть положительные (т.е. не все ), то существует опорный план такой, что .

Переход от одного опорного плана к новому опорному плану осу­ще­­с­твляется исключением из числа базисных переменных одн­ой из этих переменных и введением в число базисных одной из небазисных

переменных по следующей схеме (схема 1):

1) выбирают разрешающий столбец , соответствующий отрица­тельному значению ; переменная будет включена в число бази­с­ных переменных;

2) выбирают разрешающую строку, соответствующую наименьшему отношению элементов столбца свободных членов системы ограничений к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца

,

где минимум берётся по всем номерам таким, что ; переменная должна быть исключена из числа базисных переменных.

Затем систему ограничений преобразуют по схеме Жордана-Гаусса. Все вычисления записывают в таблицах, которые называют симпл­е­к­сными таблицами и составляют следующим образом.

Пусть линейно независимы первые столбцов матрицы – базисные столбцы и система преобразованы так, что эти столбцы единичные, т.е.

, , … , , .

Тогда симплекс-таблица имеет вид:

=

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=

=

Слева в таблице указаны базисные переменные и вектор из коэффициентов целевой функции при базисных пере­м­енных, вверху – небазисные переменные ; соответст­вующие этим переменные коэффициенты целевой функции и столбцы матрицы ограничений А, справа – столбец

свободных членов и внизу – строка с обозначением “ ”, в которой записаны зна­че­­ния относительных оценок небазисных переменных, вычисленные по фор­муле (4.2), и значение целевой функции , вычисленное на первом опорном плане .

Проиллюстрируем решение задачи ЛП симплекс-методом на примере задачи (3.1) – (3.2), ранее решённой геометрически.

Задачу (3.1) – (3.2) запишем в каноническом виде, введя три допол­ни­те­льные переменные и заменив неравенства равенствами:

(4.3)

Столбцы матрицы ограничений

, ,

линейно независимы, т.к. определитель, составленный из элементов столбцов

.

Переменные соответствующие этим столбцам, – базисные пере­мен­ные, небазисные (или свободные) переменные. Положив в системе (4.3) сво­бо­дные переменные равными нулю, т.е. из (4.3) найдём . Первое опорное решение будет . Для пере­хода к следующему опорному решению систему (4.3) запишем в виде:

и составим симплекс-таблицу № 1.